[科普中國]-H空間

H空間(H-space)是一類特殊的拓?fù)淇臻g。指具有乘法運(yùn)算和雙邊同倫單位元的帶基點(diǎn)的拓?fù)淇臻g。設(shè)(X，e)是帶基點(diǎn)的拓?fù)淇臻g，1是X上的恒同映射，i1，i2：X→X×X分別定義為i1(x)=(x，e)和i2(x)=(e，x)。若存在保持基點(diǎn)的映射m：X×X→X使得m°i1和m°i2都與1相對于基點(diǎn)同倫，則稱(X，e)為H空間，并稱e為其同倫單位元，m為乘法運(yùn)算。

概念H空間(H-space)是一類特殊的拓?fù)淇臻g。指具有乘法運(yùn)算和雙邊同倫單位元的帶基點(diǎn)的拓?fù)淇臻g。設(shè)(X，e)是帶基點(diǎn)的拓?fù)淇臻g，1是X上的恒同映射，i1，i2：X→X×X分別定義為i1(x)=(x，e)和i2(x)=(e，x)。若存在保持基點(diǎn)的映射m：X×X→X使得m°i1和m°i2都與1相對于基點(diǎn)同倫，則稱(X，e)為H空間，并稱e為其同倫單位元，m為乘法運(yùn)算。若映射m°(m×1)與m°(1×m)也相對于基點(diǎn)同倫，則稱m是同倫可結(jié)合的乘法運(yùn)算，并稱(X，e)是同倫可結(jié)合的H空間。若又存在保持基點(diǎn)的映射μ：X→X，使得映射m°(1×μ)°Δ與m°(μ×1)°Δ都和X上映入基點(diǎn)e的常值映射e：X→X相對于基點(diǎn)同倫，則稱(X，e)是具有同倫逆元的H空間，其中Δ：X→X×X是由Δ(x)=(x，x)定義的對角映射。若T：X×X→X×X是由T(x1，x2)=(x2，x1)定義的交換映射，并且映射m和m°T相對于基點(diǎn)同倫，則映射m和H空間(X，e)分別稱為同倫可交換的乘法運(yùn)算和同倫可交換的H空間。凡拓?fù)淙憾际荋空間，可除代數(shù)C，Q，K中的單位球面是H空間。若Y是任意帶基點(diǎn)的拓?fù)淇臻g，則Y上的閉路空間ΩY是H空間，并且是具有同倫逆元的同倫可結(jié)合H空間；當(dāng)n≥2時，ΩY還是同倫可交換的。H空間的重要性質(zhì)是：若(X，e)是H空間，則同調(diào)群H*(X)是具有單位元的分次代數(shù)，并且H*(X)和H(X)是對偶霍普夫代數(shù)。H空間的概念是霍普夫(Hopf，H.)于1941年提出的。

拓?fù)淇臻g歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點(diǎn)賦予一種確定的鄰域結(jié)構(gòu)便構(gòu)成一個拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數(shù)學(xué)家弗雷歇于1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓?fù)淇臻g定義為一個集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓?fù)淇臻g)。同時期的匈牙利數(shù)學(xué)家里斯還從導(dǎo)集出發(fā)定義了拓?fù)淇臻g。20世紀(jì)20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學(xué)派的數(shù)學(xué)家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在距離化問題上有重要貢獻(xiàn)。1930年該學(xué)派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀(jì)30年代后，法國數(shù)學(xué)家又在拓?fù)淇臻g方面做出新貢獻(xiàn)。1937年布爾巴基學(xué)派的主要成員H.嘉當(dāng)引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質(zhì)的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結(jié)構(gòu)的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書。1944年迪厄多內(nèi)引進(jìn)雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學(xué)生們進(jìn)行了完整的研究。布爾巴基學(xué)派的《一般拓?fù)鋵W(xué)》亦對拓?fù)淇臻g理論進(jìn)行了補(bǔ)充和總結(jié)。1

此外，美國數(shù)學(xué)家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結(jié)果。捷克數(shù)學(xué)家切赫建立起緊致空間的包絡(luò)理論，為一般拓?fù)鋵W(xué)提供了有力工具。他的著作《拓?fù)淇臻g論》于1960年出版。近幾十年來拓?fù)淇臻g理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。

同倫設(shè)f、g是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的兩個連續(xù)映射，若存在連續(xù)映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)；H(x，1)=g，x∈X，則稱f與g同倫，記為f?g：X→Y或f?g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數(shù)映射族{ht}t∈I，ht連續(xù)地依賴于t且h0=f，h1=g，即當(dāng)參數(shù)t從0變到1時，映射f連續(xù)地形變?yōu)間。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y(jié)的一切連續(xù)映射之集，則同倫關(guān)系?是C[X，Y]上等價關(guān)系，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設(shè)Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續(xù)映射，若對每個x∈X，點(diǎn)f(x)與g(x)可由Y中線段連結(jié)，則f?g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設(shè)X，Y與Z均為拓?fù)淇臻g，若f?f：X→Y，g?g： Y→Z，則gf?gf： X→Z。

設(shè)X，Y為拓?fù)淇臻g，若存在連續(xù)映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf?Idx且f·g?idr。這Id、id均表示恒同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X?Y。與單點(diǎn)空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0與映射idx同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關(guān)系是拓?fù)淇臻g之間的等價關(guān)系。X可縮等價于下列幾條中任意一條：(1)idx?0，即恒同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f?0。(3)對任意空間Z和連續(xù)映射g：Z→X，g?0。2

人物簡介霍普夫是瑞士數(shù)學(xué)家。生于德國的布雷斯勞(今波蘭弗羅茨瓦夫)，卒于瑞士措刊孔。早年就學(xué)于柏林大學(xué)、海德堡大學(xué)。1925年獲柏林大學(xué)博士學(xué)位，同年又到格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)。1927—1928年，在普林斯頓大學(xué)做研究工作。1931年被聘為瑞士蘇黎世高等工業(yè)學(xué)院教授，直至1965年退休.美國全國科學(xué)院和意大利林琴科學(xué)院外籍院士。1955—1958年任國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席。

霍普夫的工作很大一部分與代數(shù)拓?fù)溆嘘P(guān)。他在20世紀(jì)30年代的工作是后來的球同倫研究的先驅(qū)。在柏林大學(xué)時，他證明了布勞威爾映射度是映射Sn→S的惟一同倫不變量，得到了布勞威爾-霍普夫定理。1925年到格丁根后，受諾特(Noether，E.)影響較大，他第一個把諾特的概念框架應(yīng)用于同調(diào)論，證明了歐拉-龐加萊公式的推廣.1931年，他證明了存在映射f：S3→S2，f被稱為霍普夫映射，也就是著名的霍普夫纖維化或主霍普夫叢。這在同倫論發(fā)展史上具有重要意義。他還定義了霍普夫不變量，并證明了上面映射的不變量為1。1935年，他又推廣了上面映射，得到了映射f：S2n-1→Sn，并對這種映射進(jìn)行了同倫分類，證明了當(dāng)n=4，8時，所有映射不變量相等。后被人證明，當(dāng)n=2，4，8時，霍普夫不變量都為1。這時映射就成為以S為全空間，以S為底空間的纖維叢的映射。他首次證明了本質(zhì)，但是零調(diào)的映射的存在性，且基本性質(zhì)不能用誘導(dǎo)同調(diào)同態(tài)來檢驗。1941年，他建立了H空間，并在研究H空間的同調(diào)以及上同調(diào)時，又建立了霍普夫代數(shù)。現(xiàn)在霍普夫代數(shù)已是現(xiàn)代代數(shù)的一個重要組成部分，并是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的常用工具。此外，他在拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚钠渌芏喾矫嬉沧龀隽酥匾暙I(xiàn)。他曾和亞歷山德羅夫(Александров，А.Д.)進(jìn)行過長期的合作，1935年，他倆合著的《拓?fù)洧瘛芬粫?，對拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展起了很大的推動作用。1969年，他還獲國際羅巴切夫斯基數(shù)學(xué)獎。他的主要論著均收入了他1964年出版的《文選》中。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)