[科普中國]-迪尼導(dǎo)數(shù)

定義

設(shè) 是 上的實(shí)值函數(shù)， 是 內(nèi)的一點(diǎn)，令

(1) 我們將 和 這四個廣義實(shí)數(shù)依次稱為 是在 的左上導(dǎo)數(shù)、左下導(dǎo)數(shù)、右****上導(dǎo)數(shù)和右下導(dǎo)數(shù)；統(tǒng)稱為 在 的迪尼導(dǎo)數(shù)。

(2) 若 ，則稱 在左可微，并稱 為 在點(diǎn) 的左導(dǎo)數(shù)，記 若 ，則稱 在右可微，并稱 為 在 的右導(dǎo)數(shù)，記作 2。

顯然可導(dǎo)四個迪尼導(dǎo)數(shù)存在且相等。

相關(guān)結(jié)論由迪尼導(dǎo)數(shù)的定義可知：

1. 在點(diǎn) 可微當(dāng)且僅當(dāng) 在 的四個迪尼導(dǎo)數(shù)相等且是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng) 在點(diǎn)x既左可微又右可微且 。

2. 當(dāng) 為單調(diào)遞增函數(shù)時，f是在x的四個迪尼導(dǎo)數(shù)都是非負(fù)的廣義實(shí)數(shù)；當(dāng)f為單調(diào)遞減函數(shù)時，f是在x的四個迪尼導(dǎo)數(shù)都是非正的廣義實(shí)數(shù)2。

迪尼導(dǎo)數(shù)的提出1914-1916年間，格蕾絲·西斯霍姆·楊在各類國際期刊上發(fā)表了一系列獨(dú)立署名的關(guān)于微分學(xué)基礎(chǔ)的論文。1914年，她的《關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微分系數(shù)的注解》(A Note on DerivativesandDifferentialCofficients)發(fā)表在瑞典刊物《數(shù)學(xué)活動》(Acta Mathematica) 上，闡述了一些關(guān)于導(dǎo)數(shù)特殊性質(zhì)的初步結(jié)果。

1915年她的論文《關(guān)于無窮導(dǎo)數(shù)》贏得了哥頓學(xué)院的“博彩獎”。這篇較長的專題論文1916 年發(fā)表在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》(QuarterlyJournal of Pure and Applied Mathematics) 上，討論了連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)。在繼續(xù)她的研究主題后，另一篇較短的論文《關(guān)于一個方程的導(dǎo)出數(shù)》(On the numbersderived from a function)發(fā)表在同一年的《科學(xué)院每周會議記錄譯本》上。1916 年,《倫敦數(shù)學(xué)會公報》發(fā)表了她的題為《關(guān)于一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》(On theDerivatives of a Function)的論文，她在其中討論了一個函數(shù)的4 種經(jīng)典導(dǎo)數(shù)變分(variation),即左上、左下、右上、右下迪尼導(dǎo)數(shù)(Dini derivation)。她對連續(xù)函數(shù)和可測(measurable)函數(shù)的4 個迪尼導(dǎo)數(shù)行為作出分類。她闡明，除去一些點(diǎn)，4 個迪尼函數(shù)只能具有3種行為：全等；兩個正無窮，兩個負(fù)無窮；或一個正無窮，一個負(fù)無窮，另兩個為某個相同有限值。她所證明的結(jié)果與法國數(shù)學(xué)家阿諾德當(dāng)儒瓦(Arnaud Denjoy)和波蘭數(shù)學(xué)家史丹尼勞薩克斯(Stanislaw Saks)的相似結(jié)果一起并稱為當(dāng)儒瓦-薩克斯-楊定理。這個定理使研究者可以利用排除法，即通過證明第二三種情形不會發(fā)生來判定一個特定的函數(shù)是可導(dǎo)的。

1915年，楊夫婦從日內(nèi)瓦搬到了瑞士的另一個城市洛桑，但這并沒有妨礙學(xué)術(shù)多產(chǎn)的楊。在20世紀(jì)20 年代，她繼續(xù)發(fā)表著變分方面的論文。在1919年發(fā)表在《數(shù)學(xué)科學(xué)簡報》(Bllein of the mathematical scence)的“在不使用康托數(shù)下對勒貝格引理的證明”( Demonstration of Lebesgue's lemma without the use of theCantor numbers)中，她寫到了勒貝格積分。她1922年的“關(guān)于黎曼定理的注解”(A Note on a Theorem of Riemann's) 發(fā)表在《數(shù)學(xué)簡訊》(Messenger ofMathematics) 上。1922年她還在《倫敦數(shù)學(xué)會公報》上發(fā)表了《關(guān)于多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)》(On the Partial Derivatives of a Function of Many Variables)討論多變量變分?！稊?shù)學(xué)基礎(chǔ)》(Fundamenta Mathematicae) 于1929年刊發(fā)了她的《關(guān)于可微函數(shù)》(On Functions Possessing Differentials)。

楊在20世紀(jì)20年代的文章不只是變分，其中有兩篇是有感于古希臘哲學(xué)家柏拉圖(Plato)的數(shù)學(xué)思想。1924 年在《倫敦數(shù)學(xué)會公報》上發(fā)表《一對聯(lián)立丟番圖方程組的解法與柏拉圖聯(lián)姻數(shù)》(On the Solution of a Pairof SimultaneousDiophantine Equations Connected with the Nuptial Number in Plato)。5 年之后，她又與丈夫合寫了《摘自柏拉圖家美諾篇的經(jīng)世之謎》(A Time-HonouredMystery from the Meno of Plato)，發(fā)表在《歐傳統(tǒng)》(O tradition)。1926年她為一本教育期刊寫了一篇說明性的文章，介紹希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)和他那著名的關(guān)于直角三角形三邊長關(guān)系的定理。這篇文章題為(畢達(dá)哥拉斯，他怎樣證明他的定理?》(How did he prove his theorem)，發(fā)表在《數(shù)學(xué)教育》(Mathematics education)上3。