[科普中國]-正則波萊爾測度

正則波萊爾測度(regular Borel measure)是正則的波萊爾測度。設(shè)Ω是豪斯多夫空間。如果μ是B(Ω)上的波萊爾測度且是正則的，則稱μ是B(Ω)上的正則波萊爾測度。

概念正則波萊爾測度(regular Borel measure)是正則的波萊爾測度。設(shè)Ω是豪斯多夫空間。如果μ是B(Ω)上的波萊爾測度且是正則的，則稱μ是B(Ω)上的正則波萊爾測度。R上的勒貝格測度限制在波萊爾集類上是正則波萊爾測度。

測度數(shù)學(xué)上，測度（Measure）是一個函數(shù)，它對一個給定集合的某些子集指定一個數(shù)，這個數(shù)可以比作大小、體積、概率等等。傳統(tǒng)的積分是在區(qū)間上進行的，后來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發(fā)展出測度的概念，它在數(shù)學(xué)分析和概率論有重要的地位。

測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數(shù)、測度、可測函數(shù)和積分，其重要性在概率論和統(tǒng)計學(xué)中都有所體現(xiàn)。

**定義1：**構(gòu)造一個集函數(shù)，它能賦予實數(shù)集簇М中的每一個集合E一個非負(fù)擴充實數(shù)mE。我們將此集函數(shù)稱為E的測度。

**定義2：設(shè)Γ是集合X上一σ代數(shù)，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }**是一集合函數(shù)，且ρ滿足：

（1）（非負(fù)性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規(guī)范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有：

則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為概率測度。1

正則測度正則測度是一種比較規(guī)則的測度。設(shè)Ω是豪斯多夫空間，B(Ω)是Ω上的波萊爾集類，F(xiàn)為Ω上包含B(Ω)的σ代數(shù)，μ是F上的測度。如果對每個A∈F，有：

則稱μ為外正則的;如果對每個開集G，有：

則稱μ為內(nèi)正則的；既外正則又內(nèi)正則的測度稱為正則測度。

豪斯多夫空間在拓?fù)鋵W(xué)和相關(guān)的數(shù)學(xué)分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T2 空間是其中的點都“由鄰域分離”的拓?fù)淇臻g。在眾多可施加在拓?fù)淇臻g上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它蘊涵了序列、網(wǎng)和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名于拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)立者之一費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓?fù)淇臻g定義把豪斯多夫條件包括為公理。

假設(shè)X是拓?fù)淇臻g。設(shè)x和y是X中的點。如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得U和V是不相交的 (U ∩ V = ?)，我們稱x和y可以“由鄰域分離”。X 是豪斯多夫空間如果任何兩個X 的獨特的點可以由鄰域分離。這時的豪斯多夫空間也叫做T2空間和分離空間的原因。

X 是預(yù)正則空間，如果任何兩個拓?fù)淇蓞^(qū)分的點可以由鄰域分離。預(yù)正則空間也叫做R1 空間。

在這些條件之間的聯(lián)系如下。拓?fù)淇臻g是豪斯多夫空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是預(yù)正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是說獨特的點是拓?fù)淇蓞^(qū)分的)。拓?fù)淇臻g是預(yù)正則空間，當(dāng)且僅當(dāng)它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。

對于拓?fù)淇臻g X，以下論述等價：

X 是豪斯多夫空間。

是積空間的閉集。

X 中極限是唯一的(就是序列、網(wǎng)和濾子收斂于最多一個點)。

所有包含在 X 中的單元素集合都等于包含它的所有閉鄰域的交集。

對角的 Δ = {(x,x) | x ∈ X} 作為乘積空間 X × X 的子集是閉集。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)