[科普中國(guó)]-列緊集

預(yù)備知識(shí)鄰域與有界集

設(shè)X是一個(gè)距離空間，A是X的一個(gè)子集，若存在x0∈X，及r>0，記

稱 為 的一個(gè)r鄰域，或簡(jiǎn)稱鄰域，使得 ，則稱A為有界集。1

內(nèi)點(diǎn)與開(kāi)集設(shè)M為距離空間X的子集，如果存在x的一個(gè)鄰域整個(gè)包含于M，則稱x∈M是M的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)。若M的所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱M為開(kāi)集。1

完全有界的設(shè)M是距離空間X中的一個(gè)子集，ε>0，N?M，若對(duì)任意x∈M，總存在y∈N，使得d(x,y)0，A總存在有限的ε-網(wǎng)，則稱A是完全有界的。1

自列緊集距離空間中，閉的列緊集稱為自列緊集。2

定義表述一列緊集(sequentially compact set)是度量空間中的一類子集。設(shè)A是度量空間X中的無(wú)窮集，如果A中的任一無(wú)窮子集必有一個(gè)收斂的點(diǎn)列，就稱A是X中的列緊集。如果X本身是列緊集，就稱X是列緊距離空間，簡(jiǎn)稱為列緊空間。1

表述二設(shè)X是任一拓?fù)淇臻g，又A?X，如果A的每個(gè)無(wú)窮子集都至少有一個(gè)聚點(diǎn)屬于A，則A叫做拓?fù)淇臻gX的一個(gè)列緊集。如果X作為空間X的點(diǎn)集是列緊的，則拓?fù)淇臻gX叫做一個(gè)列緊空間。例如，任意空間的所有有限點(diǎn)集是列緊的；空集是列緊集I有限空間為列緊空間，列緊空間的每個(gè)閉集都是列緊集；每一個(gè)緊致空間都是列緊空間。3

性質(zhì)有界集與列緊集（1）在 中，任意有界集是列緊集。1例如，根據(jù)包查諾-魏爾史特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理，數(shù)值線上任何有界集必是列緊的。4

（2）在 中，任意有界閉集是自列緊集。1

（3）列緊集的無(wú)窮子集是列緊集。2

列緊空間的子集（1）列緊空間內(nèi)任意子集都是列緊集。

（2）列緊空間內(nèi)任意閉列緊集都是自列緊集。

（3）列緊空間必是完備空間。1

必要條件和充要條件（1）距離空間X中集合是列緊的必要條件是M為完全有界的。

證明：設(shè)A為距離空間X的列緊集。如果A不是全有界的，則必存在某個(gè) ，使得A沒(méi)有有限的 網(wǎng)。于是對(duì)于任意抽取的x1∈A，必存在x2∈A使得 ，否則{x1}就是A的一個(gè)有限 網(wǎng)。同理，存在x3∈A使得 ，否則{x1,x2}就是A的一個(gè)有限 網(wǎng)，這樣可以一直進(jìn)行下去，于是我們得到一個(gè)點(diǎn)列{xn}使得當(dāng)m≠n時(shí)， ，{xn}顯然沒(méi)有收斂的子列，與A的列緊性相矛盾，故A為完全有界的。5

（2）完備距離空間X中集合是列緊的充分必要條件是M為完全有界的。

證明：設(shè)A為完備的距離空間，A?X為全有界集．任取A中的一個(gè)點(diǎn)列，如果中只有有限個(gè)互不相同的元素，則顯然含有收斂的子列，因此，可設(shè)中有無(wú)限多個(gè)互不相同的元素，記這些元素構(gòu)成的集合為。是全有界的，于是X中存在有限個(gè)以1/2為半徑的開(kāi)球使得這些開(kāi)球的并包含，因此它們中至少有一個(gè)開(kāi)球包含了中無(wú)限多個(gè)元素，這些元素構(gòu)成的集合記為，這個(gè)開(kāi)球記為，即，則，且是無(wú)窮集。本身也是全有界的，將以上的論證應(yīng)用于，則存在的子集，使得中含有中無(wú)限多個(gè)元素且的直徑不大于1/2。依此類推，我們可以找到一系列的集合滿足如下條件：，而且的直徑不大于。每個(gè)均含有中無(wú)限多個(gè)元素。注意到每個(gè)中的所有元素都是中的某些項(xiàng)，對(duì)于k=1，可取中的某一項(xiàng)，使得。對(duì)于k=2，可取中的某一項(xiàng)使得且可設(shè)，依此類推，便得到的一個(gè)子列使得。根據(jù)的性質(zhì)，是基本點(diǎn)列，又因?yàn)閄是完備的，故在X中收斂，于是A是列緊的。5

（3）設(shè)X是一個(gè)距離空間，M?X是緊集的充分必要條件為M是自列緊的。1

Arzelá-Ascoli定理X是列緊空間，F(xiàn)?C(X)是列緊的充要條件是F是一致有界并且等度連續(xù)的。2