[科普中國]-局部有限代數(shù)

概念

局部有限代數(shù)是與局部有限群相平行的概念。若域F上代數(shù)A中任意有限個(gè)元生成的子代數(shù)是有限維的(或冪零的)，則稱A是局部有限代數(shù)(或局部冪零代數(shù))。局部有限代數(shù)是代數(shù)的代數(shù)，逆命題不真。1

有限群具有有限多個(gè)元素的群，是群論的重要內(nèi)容之一。其所含元素的個(gè)數(shù)，稱為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源于有限群論。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群(即單群)。

有限群的研究起源很早，其形成時(shí)期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及后來的伽羅瓦、若爾當(dāng)?shù)热说拿窒嗦?lián)系的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立后的一個(gè)重要發(fā)展方向。德國數(shù)學(xué)家赫爾德在1889年以后的若干年內(nèi)，詳細(xì)地研究了單群和可解群，證明：一個(gè)素?cái)?shù)階循環(huán)群是單群，n個(gè)(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發(fā)現(xiàn)了許多其他有限的單群。赫爾德和若爾當(dāng)還建立了在有限群中的若爾當(dāng)—赫爾德合成群列和若爾當(dāng)—赫爾德定理。在19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數(shù)學(xué)家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世紀(jì)初伯恩塞德證明的關(guān)于pq(p、q是素?cái)?shù))必是可解群的定理，導(dǎo)致了對(duì)有限單群進(jìn)行分類的重要研究。美國數(shù)學(xué)家湯普森和菲特在20世紀(jì)60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個(gè)猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數(shù)階群一定是可解群。它推動(dòng)了有限群理論的發(fā)展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構(gòu)類，經(jīng)過上百名數(shù)學(xué)家約40年的共同努力，終于在1981年得到解決，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)非凡成就。

局部有限群一種特殊的周期群。它們構(gòu)成周期群類的一個(gè)真子類。若群G的任意有限多個(gè)元素生成的子群是有限的，則稱G是局部有限群。局部有限性是在群的有限性條件中最接近群階的有限性的一種性質(zhì)。局部有限群理論是無限群論中比較成熟的分支之一，它在好幾個(gè)方面都得到較為深入的發(fā)展。例如，局部有限群的西洛理論，無限局部有限群中無限阿貝爾群的存在性理論等。這一理論的最大特點(diǎn)是有限群論的許多深刻結(jié)果和強(qiáng)有力的技巧被廣泛地應(yīng)用。

周期群亦稱撓群。一種常見的重要群類。若群G的所有元素的階都是有限的，則稱G為撓群；反之，若G的所有非平凡元素的階都是無限的，則稱G為無扭群。存在既不是撓群，也不是無扭群的群，即既包含非平凡的有限階元素，又包含無限階元素的群，稱為混合群。若群G的一切有限階元素組成群G的子群T，T是G的最大的周期子群，稱為G的最大周期子群。T是G的特征子群，且G/T是無扭群。群的最大周期子群一般未必存在，但任意阿貝爾群恒有最大周期子群存在。2

群論研究具有一種結(jié)合法的特殊代數(shù)系——群的科學(xué)。代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科。如果在元素集合G中定義了一種叫乘法的運(yùn)算，并且這個(gè)運(yùn)算滿足下面四個(gè)條件： (1) 對(duì)任意f，g∈G，必有 fg∈G；(2) 對(duì)任意f，g，h∈G，都有 (fg) h=f (gh)；(3) G中有唯一的e，使得對(duì)G中任意元素f 都有ef=fe=f; (4) 對(duì)G中任意元素f，在G中有唯一的f-1使得f-1f=ff-1=e。那么，稱G為群。各種群的結(jié)構(gòu)、各種群運(yùn)算的性質(zhì)及群的應(yīng)用，是群論研究的對(duì)象。

群論研究的內(nèi)容十分豐富。概括起來主要包括有限群論、有限生成群、一般群論、群表示論等。本世紀(jì)20年代量子力學(xué)誕生之前，群論只是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)分支。而后，在物理學(xué)中，群論的方法導(dǎo)致了有關(guān)原子和分子結(jié)構(gòu)的重大發(fā)展?，F(xiàn)在，群論已經(jīng)是量子物理學(xué)和量子化學(xué)經(jīng)常用到的工具。因此，群論是蓬勃發(fā)展的、具有廣闊應(yīng)用前景的學(xué)科。 3