[科普中國]-相對自由代數(shù)

概念

相對自由代數(shù)(relatively free algebras)是指可由自由代數(shù)的T理想決定的商代數(shù)。設(shè)I是自由代數(shù)Λ{X}的理想，商代數(shù)U=Λ{X}/I稱為相對自由的，是指對滿足U的所有恒等式即每個≤ΛU的代數(shù)R，使得映射σ：x-k→rk∈R有惟一的U→R的代數(shù)同態(tài)擴張(其中x-k=xk+I)。若U=Λ{x}/I是相對自由的，則U的恒等式集為I，因此I是Λ{x}的T理想；反之，若A是Λ{x}的T理想，則Λ{x}/A是相對自由的。

代數(shù)設(shè)K為一交換體。把K上的向量空間E叫做K上的代數(shù)，或叫K-代數(shù)，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射。換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)：1

——記為加法的合成法則(x，y)?x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)?xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)?αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有：

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設(shè)A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集?(A，K)以如下三個法則：

則?(A， K)是K上的代數(shù)， 自然地被稱為從A到K中的映射代數(shù).當(dāng)A=N時， 代數(shù)?(A，K)叫做K的元素序列代數(shù)。

無論是在代數(shù)還是在分析中，代數(shù)結(jié)構(gòu)都是最常見到的結(jié)構(gòu)之一。十九世紀(jì)前半葉末，隨著哈密頓四元數(shù)理論的建立，非交換代數(shù)的研究已經(jīng)開始。在十九世紀(jì)下半葉，隨著M.S.李的工作，非結(jié)合代數(shù)出現(xiàn)了。到二十世紀(jì)初，由于放棄實數(shù)體或復(fù)數(shù)體作為算子域的限制，代數(shù)得到了重大擴展。

與外代數(shù)，對稱代數(shù)，張量代數(shù)，克利福德代數(shù)等一起，代數(shù)結(jié)構(gòu)在多重線性代數(shù)中也建立了起來。

自由代數(shù)自由代數(shù)是具有生成基的一類代數(shù)。集合X={x1，x2，…}中若干個元依照某個次序的一個排列，稱為X上一個字。若在X上字的全體集合中任二元h=xi1xi2…xin，g=xj1xj2…xjm，規(guī)定乘法：h·g=xi1xi2…xinxj1xj2…xjm，則此集合構(gòu)成一個自由半群。若在此自由半群中添加形式元1，且規(guī)定1h=h1=h，則此集合為自由幺半群，記為μ(X)。設(shè)Λ是有單位元的交換環(huán)，若：

規(guī)定：

則Λμ(X)構(gòu)成一個結(jié)合代數(shù)，稱為X上自由Λ代數(shù)，記為Λ{X}。.Λ{X}中元稱為多項式。設(shè)：

αh稱為h的系數(shù)，αnh稱為單項式，且f的次數(shù)：

當(dāng)μ(X)為交換自由幺半群時，自由代數(shù)Λ[X]與Λ上多項式代數(shù)Λ{X}一致。一般地，若在自由幺半群μ(X)上規(guī)定一個關(guān)系~：

xi1xi2…xin~xj1xj2…xjm，

當(dāng)且僅當(dāng)n=m且集合{xik|k=1，2，…，n}與集合{xjk|k=1，2，…，m=n}相等，則~為μ(X)的一個等價關(guān)系，從而可將μ(X)中元按等價分類，xi1xi2…xin所在的類用表示，且記：

μ-(X)={|xi1xi2…xin∈μ(X)，

i1≤i2≤…≤in}，

于是，μ-(X)對μ(X)所誘導(dǎo)的乘法也構(gòu)成交換幺半群，也為自由幺半群。同前類似，由μ-(X)所生成的Λ代數(shù)Λμ-(X)稱為自由交換代數(shù)，記為Λ[ξ].當(dāng)Λ是整數(shù)環(huán)Z時，自由代數(shù)Z{X}與自由交換代數(shù)Z[ξ]分別稱為自由環(huán)與自由交換環(huán)，它們中的元素皆為整系數(shù)多項式。

商代數(shù)商代數(shù)是一個代數(shù)結(jié)構(gòu)模它的同余關(guān)系產(chǎn)生的新的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

集A上的等價關(guān)系～將A劃分成互不相交的等價類的并，記成?=A/～，即?的元素[a]是a所在的等價類。?稱為A關(guān)于～的商集。進一步，設(shè)～是代數(shù)結(jié)構(gòu)〈A，?〉上的等價關(guān)系，并且對任意a，b∈A，若a～b，對任何c∈A，都有a?C～b?c，且c?a～c?b，則稱等價關(guān)系～是〈A，?〉上的同余關(guān)系例如，模m同余，a≡b (modm)，當(dāng)且僅當(dāng)m| (a-b)，是〈Z，+〉上的一個同余關(guān)系，并且模m同余也是〈Z，+，·〉上的同余關(guān)系又如，群〈G，·〉的正規(guī)子群N確定的陪集關(guān)系R，aRb當(dāng)且僅當(dāng)ab∈N，是〈G，+〉上的同余關(guān)系。

設(shè)～是代數(shù)結(jié)構(gòu)〈A，?〉上的同余關(guān)系，則可在商集?=A/～上定義運算*.。

[a1] * [a2]=[a1·a2]

稱代數(shù)結(jié)構(gòu)〈A/～，*)=〈?，* 〉為〈A，?〉(關(guān)于～)的商代數(shù)。

例如，剩余類環(huán)〈Zm，+，·〉是〈Z，+，·〉的一個商代數(shù)，群〈G，·〉關(guān)于正規(guī)子群N的商群〈G/N·〉就是由N確定的陪集關(guān)系確定的商代數(shù)。

一個代數(shù)結(jié)構(gòu)必定與它的商代數(shù)同態(tài)，把任一元素對應(yīng)到這個元素所在的等價類的映射就是代數(shù)結(jié)構(gòu)到其商代數(shù)的同態(tài)映射。反過來，代數(shù)結(jié)構(gòu)A的任何一個同態(tài)映射可以導(dǎo)出A的一個同余關(guān)系～，并得到商代數(shù)A/～，A/～必與A的同態(tài)象同構(gòu)。2

理想理想是集合論中的基本概念之一。設(shè)S為任意集合，若I?P(S)且滿足：

1.?∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y?S，X∈I，Y?X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想.理想的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎每個分支中均有應(yīng)用，且有許多變體或引申.例如，布爾代數(shù)上的理想即為集合上的理想的一種變體.設(shè)B為任意布爾代數(shù)，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1?I(其中0，1分別為布爾代數(shù)B中的零元與么元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。3