[科普中國]-狄利克雷核

狄利克雷簡介

狄利克雷（1805～1859） Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德國數(shù)學家。對數(shù)論、數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。1805年2月13日生于迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教于物理學家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學，深受J.-B.-J.傅里葉的影響 ?；貒笙群笤诓祭姿箘诖髮W、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數(shù)學發(fā)展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。1

在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數(shù)學家之一。1837年他提出函數(shù)是x與y之間的一種對應關系的現(xiàn)代觀點。2

在數(shù)論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1836年狄利克雷撰寫了《數(shù)論講義》，對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋并有創(chuàng)見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄利克雷級數(shù)。1838～1839年，他得到確定二次型 類數(shù)的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數(shù)數(shù)域中單位數(shù)的阿貝爾群的結構。

在數(shù)學物理方面，他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩(wěn)定性導出的一般穩(wěn)定性等課題都有重要論著。1850年發(fā)表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現(xiàn)稱狄利克雷問題。3

狄利克雷是19世紀最重要的數(shù)學家之一。他的貢獻涉及到數(shù)學的各個方面，其中以數(shù)論、分析，特別是關于位勢論最著名.在數(shù)論方面，他先后證明了n=5和n=14時的費馬大定理.1837年，他證明了任何算術序列a，a+b，a+2b，…(a與b互素)中，必有無窮多個素數(shù)，這就是著名的狄利克雷定理，證明中所用到的級數(shù)，稱為狄利克雷級數(shù).他還提出了狄利克雷抽樣法，成為解析數(shù)論的創(chuàng)始人。在數(shù)學分析方面，他在1837年的論文中引入了近代函數(shù)的概念，一直沿用至今。他還第一個準確解釋了級數(shù)條件收斂的概念，討論了傅里葉級數(shù)的收斂性問題。他的工作發(fā)展了傅里葉級數(shù)理論。在位勢論理論中，他引入了所謂的狄利克雷原理。他還提出了微分方程的邊值問題。他的研究工作在數(shù)學物理的許多領域中起了重要作用。4

狄利克雷核表述狄利克雷核(Dirichlet kernel)是一類由三角函數(shù)表示的積分核。三角多項式：

稱為狄利克雷核。多變元的情形有類似的定義。為簡明起見，本條及以下各條若不特別說明，均只對單變元情形進行敘述。把f的傅里葉級數(shù)的前n+1項的和記為，稱為的第n部分和，簡稱f的傅里葉部分和。容易算出：5

于是，f能否展成傅里葉級數(shù)，就歸結為當時的收斂性問題。6

傅里葉級數(shù)法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），后世稱傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù)，根據(jù)歐拉公式，三角函數(shù)又能化成指數(shù)形式，也稱傅立葉級數(shù)為一種指數(shù)級數(shù)。

法國數(shù)學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明多元三角級數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用。7