[科普中國]-非齊次線性微分方程

一階線性微分方程可分兩類，一類是齊次形式的，它可以表示為y'+p(x)y=0，另一類就是非齊次形式的，它可以表示為y'+p(x)y=Q(x)。

齊次線性方程與非齊次方程比較一下對理解齊次與非齊次微分方程是有利的。對于非齊次微分方程的解來講，類似于線性方程解的結(jié)構(gòu)結(jié)論還是成立的。就是：非齊次微分方程的通解可以表示為齊次微分方程的通解加上一個非齊次方程的特解。

一階非齊次線性微分方程的求解：

1 一階非齊次線性微分方程y'+p(x)y=Q(x)，若設(shè) ，則該方程的等價方程為 。

2若 是一階齊次線性方程y'+p(x)y=0的通解，則一階非齊次線性方程y'+p(x)y=Q(x)的通解

解滿足。

二階非齊次線性微分方程的求解：

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的表達(dá)式為y''+py'+qy=f(x)，它的特解

，

（1） 當(dāng)時，r和k都是實(shí)數(shù)，y*=y1是方程的特解。

（2）當(dāng)時，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一對共軛復(fù)根，y*=1/2（y1+y2）是方程的實(shí)函數(shù)解。

三階非齊次線性微分方程的求解：

三階常系數(shù)非齊次線性微分方程的表達(dá)式為y'''+p1y''+p2y'+p3y=f(x)，設(shè)其特征方程的三個特征跟分別是r1，r2，r3，特解為

（1）當(dāng)r1，r2，r3都是實(shí)數(shù)時，y*=y1是方程的特解。

（2）當(dāng)r1是實(shí)數(shù)，r2，r3是共軛復(fù)數(shù)時，則y1和y2是共軛復(fù)數(shù)，因此，y*=1/2（y1+y2）是方程的實(shí)函數(shù)解2。

高階非齊次線性微分方程的求解：

一般形式的n 階非齊次線性微分方程

對應(yīng)的齊次線性微分方程為

其中及f(t)都是R上的連續(xù)函數(shù)。

如果是齊次方程的一個基本解組，而是非齊次方程的某個解，則非齊次方程的通解可以表示為

其中c1,c2,...,cn是任意常數(shù)。

若n階非齊次線性微分方程的柯西函數(shù)U(t,s)及U^(k)(t,s)(k=1,2,...,n)均連續(xù)，函數(shù)及都是一致收斂的，則函數(shù)是非齊次線性微分方程的一個解3。