[科普中國(guó)]-正則局部環(huán)

簡(jiǎn)介

正則局部環(huán)是局部環(huán)的子類(lèi)，有正則參數(shù)系的局部環(huán)(R,m)稱(chēng)為正則局部環(huán)，即m可由dimR個(gè)元素生成。

正則環(huán)[regular ring]

設(shè)(R,m)是一個(gè)諾特局部環(huán)。假設(shè)R的維數(shù)為d，則m的生成元組所含元素的個(gè)數(shù)至少為d。如果m可以有d個(gè)元素生成，則稱(chēng) R 是正則局部環(huán)（regular local ring），此時(shí)，m的由d個(gè)元素組成的生成元組稱(chēng)為是R的正則參數(shù)系（regular system of parameters）。

對(duì)一般的諾特環(huán)R，如果對(duì)任意素理想p，都是正則局部環(huán)，則稱(chēng)R是正則環(huán)。

正則環(huán)一定是科恩-麥考萊的。正則環(huán)也一定是正規(guī)的。

例如，設(shè)F是域，則是正則環(huán)。

局部環(huán)[local ring]

設(shè)R是一個(gè)環(huán)，如果R含有唯一的極大理想m，則稱(chēng)R是局部環(huán)，記為(R,m)，有時(shí)也記為(R,m,k)，其中k=R/m是一個(gè)域。

注意到，若(R,m)是局部環(huán)，則m恰由R的所有非可逆元組成。

設(shè)??是R的一個(gè)素理想，則R??是局部環(huán)。

如果R含有有限多個(gè)極大理想，則稱(chēng)R是一個(gè)半局部環(huán)（semi-local ring）。1