[科普中國]-特殊若爾當代數(shù)

概念介紹

特殊若爾當代數(shù)(special Jordan algebra)是一種特殊類型的若爾當代數(shù)。它與某個結合代數(shù)有關系。設B是域F上的一個結合代數(shù)，F(xiàn)的特征數(shù)不為2。于是，在線性空間B上規(guī)定：

則(B，+，°)是F上的一個若爾當代數(shù)，通常記為B+。域F上的非結合代數(shù)A，若同構于某個B+的子代數(shù)，則稱A為特殊若爾當代數(shù)。2

若爾當代數(shù)若爾當代數(shù)(Jordan algebra)是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。他們最初被稱為“r階數(shù)字系統(tǒng)”，但由Albert（1946年）更名為“若爾當代數(shù)”，他開始系統(tǒng)研究若爾當代數(shù)。

在抽象代數(shù)中，若爾當代數(shù)是一個不相關代數(shù)，其乘法滿足以下公理： xy = yx; (xy)(xx)= x(y(xx))。

若爾當代數(shù)中的兩個元素x和y的乘積也表示為x°y，為了避免與相關關聯(lián)代數(shù)的乘積混淆。

若爾當代數(shù)(Jordan algebra)是一種交換的非結合代數(shù)。它滿足若爾當恒等式。所謂非結合代數(shù)滿足若爾當恒等式，是指對它的任意元素x，y，恒有及。任何交換(結合)代數(shù)都是若爾當代數(shù)。特征數(shù)為0的域F上的任意有限維半單的若爾當代數(shù)恒可惟一地表為其單理想之直和。對于有限維若爾當代數(shù)，理想是可解的、冪零的和詣零的三條件等價。若爾當代數(shù)是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。3

人物簡介若爾當是法國數(shù)學家。生于里昂，卒于巴黎。畢業(yè)于巴黎理工科大學，1861年獲博士學位。1873—1921年任教于母校和法蘭西學院，1881年當選為法國科學院院士。1895年當選為彼得堡科學院通訊院士。擔任過《純粹與應用數(shù)學》雜志編輯(1885—1921)。若爾當在代數(shù)學、分析學、函數(shù)論、拓撲學、集合論等方面都有較大的貢獻。他運用組合論的觀點探討了多面體的對稱性，對平面或n維空間的任意集合引入了外測度的概念;還建立了有界變差函數(shù)的概念，并證明這種函數(shù)可表為兩個增函數(shù)的差;在代數(shù)學方面，他系統(tǒng)地發(fā)展了有限群論及伽羅華理論，證明了著名的“若爾當—赫爾德定理”的前半部。他最早開展了無限群的研究，首先用形如：

的線性變換來表示置換群。論證了所謂有限群定理，對于研究對稱群的子群、復數(shù)域上一般線性群的有限子群等具有重要意義。利用相似矩陣和特征方程的概念，證明矩陣可化為標準型，現(xiàn)稱為“若爾當標準型。若爾當?shù)拿墩撝脫Q與代數(shù)方程》(Traité des substitutions et des équations algébriques)于1870年首版，在數(shù)學界產(chǎn)生了很大的影響，長期被作為群論中的權威著作。若爾當?shù)摹斗治鼋坛獭?Coursd'analyse 1887)是19世紀的標準教科書。這本書給出曲線的“若爾當定義”：由連續(xù)函數(shù)x=f(t)，y=g(t)(t0≤t≤t1)表示的點集。并證明了拓撲學中的“若爾當定理”：一個簡單閉曲線將平面分為內(nèi)、外兩部分。他的證明有缺陷，后來由維布倫補足(1905)。

特殊若爾當代數(shù)實例給定一個關聯(lián)代數(shù)A，可以使用相同的底層加法向量空間來構造若爾當代數(shù)。請注意，當且僅當是交換代數(shù)時，關聯(lián)代數(shù)才是若爾當代數(shù)。如果不可交換，我們可以在A上定義一個新的乘法，使其交換，實際上使它成為Jordan代數(shù)。新的乘法x°y滿足：

這定義了一個約旦代數(shù)，我們稱這些為若爾當代數(shù)，以及這些若爾當代數(shù)的任何次級代數(shù)，特殊若爾當代數(shù)。所有其他約旦代數(shù)被稱為特殊的若爾當代數(shù)。 Shirshov-Cohn定理指出，任何具有兩個發(fā)生器的若爾當代數(shù)是特殊的。與此相關，麥克唐納定理指出，在每個特殊的若爾當代數(shù)中，三個變量中具有一個變量中的一個并且消失的三個變量中的任何多項式都消失。

Hermitian 若爾當代數(shù)如果（A，σ）是具有回歸σ的關聯(lián)代數(shù)，則如果σ（x）= x和σ（y）= y，則遵循4

因此，通過歸一化（有時稱為隱性元素）固定的所有元素的集合形成的子代數(shù)，其有時表示為。

示例

1.一組自相關實數(shù)，復數(shù)或四元數(shù)矩陣滿足如下乘法：

形成特殊的若爾當代數(shù)。

2.一組3×3自相關矩陣在八次數(shù)上，同樣滿足乘法：

是一個二維的，特殊的若爾當代數(shù)。 這是阿爾伯特代數(shù)的第一個例子。

衍生和結構代數(shù)約旦代數(shù)A的衍生形式是A的同態(tài)D，使得D（xy）= D（x）y + xD（y）。導數(shù)形成李代數(shù)der(A)。約旦身份意味著如果x和y是A的元素，那么將z代入到x(yz)-y(xz)的同態(tài)是推導。因此，A和der（A）的直接和可以形成一個稱為A，str（A）的結構代數(shù)的李代數(shù)。

一個簡單的例子由Hermitian Jordan代數(shù)H（A，σ）提供。在這種情況下，具有σ（x）= - x的A的任何元素x定義了導數(shù)。在許多重要的例子中，H（A，σ）的結構代數(shù)為A。5