[科普中國(guó)]-雙邊余理想

雙邊余理想(two-sided coideal)是使得商空間仍為余代數(shù)的子空間。設(shè)(C，Δ，ε)是R余代數(shù)，V為C的R子模。若V滿足Δ(V)VRC+CRV和ε(V)=0，則稱V為雙邊余理想。

概念雙邊余理想(two-sided coideal)是使得商空間仍為余代數(shù)的子空間。設(shè)(C，Δ，ε)是R余代數(shù)，V為C的R子模。若V滿足Δ(V)VRC+CRV和ε(V)=0，則稱V為雙邊余理想。若Δ(V)VRC，則V稱為右余理想；若Δ(V)CRV，則V稱為左余理想。雙邊余理想未必是左或右余理想。若V既是左余理想，又是右余理想，則V是子余代數(shù)，但V未必是雙邊余理想，除非V={0}。

商空間商空間是一類重要的拓?fù)淇臻g。若(X，T)是拓?fù)淇臻g，R是X上的等價(jià)關(guān)系，X/R是X關(guān)于R的商集，則使得自然映射p：X→X/R為連續(xù)的X/R上的最細(xì)拓?fù)洌碩R={UX/R|p(U)∈T}，稱為X/R上的商拓?fù)洌負(fù)淇臻g(X/R，TR)稱為(X，T)關(guān)于等價(jià)關(guān)系R的商空間。商空間首先出現(xiàn)在穆爾(Moore，R.L.)于1925年發(fā)表的論文和亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)于1927年發(fā)表的論文中，兩位作者僅討論了特殊情形，即由上半連續(xù)分解確定的商空間.商空間的一般概念及商映射的概念是由比爾(Baer，R.W.)和列維(Levi，E.E.)于1932年引入的.布爾巴基(Bourbaki，N.)于1940年與1951年出版的書中首先系統(tǒng)討論了商空間。1

子空間子空間是一類拓?fù)淇臻g。設(shè)(X，T)是拓?fù)淇臻g，若Y是X的非空子集，則族U={U|U=G∩Y，G∈T}是Y上的拓?fù)?，稱U是T在Y上的相對(duì)拓?fù)?。拓?fù)淇臻g(Y，U)稱為(X，T)的子空間。

拓?fù)淇臻g歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個(gè)集，在它的每一個(gè)點(diǎn)賦予一種確定的鄰域結(jié)構(gòu)便構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇于1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國(guó)數(shù)學(xué)家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓?fù)淇臻g定義為一個(gè)集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓?fù)淇臻g)。同時(shí)期的匈牙利數(shù)學(xué)家里斯還從導(dǎo)集出發(fā)定義了拓?fù)淇臻g。20世紀(jì)20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學(xué)派的數(shù)學(xué)家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對(duì)緊與列緊空間理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在距離化問(wèn)題上有重要貢獻(xiàn)。1930年該學(xué)派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的無(wú)窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀(jì)30年代后，法國(guó)數(shù)學(xué)家又在拓?fù)淇臻g方面做出新貢獻(xiàn)。1937年布爾巴基學(xué)派的主要成員H.嘉當(dāng)引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質(zhì)的屬性顯示出來(lái)。韋伊提出一致性結(jié)構(gòu)的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書。1944年迪厄多內(nèi)引進(jìn)雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學(xué)生們進(jìn)行了完整的研究。布爾巴基學(xué)派的《一般拓?fù)鋵W(xué)》亦對(duì)拓?fù)淇臻g理論進(jìn)行了補(bǔ)充和總結(jié)。

此外，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結(jié)果。捷克數(shù)學(xué)家切赫建立起緊致空間的包絡(luò)理論，為一般拓?fù)鋵W(xué)提供了有力工具。他的著作《拓?fù)淇臻g論》于1960年出版。近幾十年來(lái)拓?fù)淇臻g理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)