[科普中國(guó)]-循環(huán)模

概念

循環(huán)模(cyclic module)是一類(lèi)特殊的有限生成模。可由一個(gè)元素生成的A模M稱(chēng)為循環(huán)模(A是有單位元環(huán))，即，有x∈M，使得M=Ax成立。環(huán)A作為A模是循環(huán)模。A模M是循環(huán)模的充分必要條件是MA/I，其中I為A的一個(gè)左理想。1

模模是一個(gè)重要的代數(shù)系統(tǒng)。它是一個(gè)帶算子區(qū)A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，并且這個(gè)積滿(mǎn)足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱(chēng)A為M的算子區(qū)，稱(chēng)M為帶算子區(qū)A的模，又稱(chēng)為A上的?；駻模。這時(shí)，由對(duì)應(yīng)(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱(chēng)為A作用到M上的運(yùn)算。任意a∈A可誘導(dǎo)出M的自同態(tài)aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射

μ： A→End(M)， a→aM.

特別地，考慮A是結(jié)合環(huán)，若滿(mǎn)足上述條件1的A模還滿(mǎn)足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環(huán)同態(tài)，則稱(chēng)M為左A?；蜃蟓h(huán)模。由于A到M上的運(yùn)算是寫(xiě)在左側(cè)，所以M就稱(chēng)為左A模，記為AM。類(lèi)似地，有右A模M，記為MA。若A有單位元1，且又滿(mǎn)足條件

4.1x=x (x∈M);

則稱(chēng)M為酉?；蜱勰！?/p>

模論抽象代數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，主要研究環(huán)上的模。模的概念本質(zhì)上是域上向量空間的直接推廣。早在19世紀(jì)，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾經(jīng)考慮過(guò)多項(xiàng)式環(huán)上的模，20世紀(jì)20年代，諾特(Noether，E.)曾一再提出過(guò)模的重要作用。交換環(huán)上的模在代數(shù)幾何中有重要作用，非交換環(huán)特別是群環(huán)上的模就是群的線性表示，域上的模就是向量空間.到了20世紀(jì)40年代，由于環(huán)論的需要和同調(diào)代數(shù)的興起，模論得到了進(jìn)一步發(fā)展.近30年來(lái)，已成為同調(diào)代數(shù)、群論、環(huán)論、代數(shù)K理論、范疇論等分支學(xué)科研究中不可缺少的工具，并在其他數(shù)學(xué)分支，如代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析甚至微分方程等領(lǐng)域里得到了較廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)代模論已成為內(nèi)容豐富、文獻(xiàn)浩繁的代數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支.2

有限生成模模論的基本概念之一。指可以表示出A模M中任一個(gè)元的M的一組元素?？紤]環(huán)A模M時(shí)，A的元稱(chēng)為純量，A稱(chēng)為M的系數(shù)環(huán)或基環(huán)，運(yùn)算A×M→M稱(chēng)為純量乘法，ax稱(chēng)為x的純量倍，它的全體記為Ax。對(duì)M的一簇元素{xλ}λ∈I，形式為：

的元的全體N是包含全部xλ(λ∈I)的M的最小子模，它等于和：

稱(chēng)N由{xλ}λ∈I所生成，而{xλ}λ∈I稱(chēng)為N的生成系。若I是可數(shù)集，且M由{xλ}λ∈I生成，則稱(chēng)M為可數(shù)生成模。當(dāng)I是有限集，且M=Ax1+Ax2+…+Axn，稱(chēng)M為有限生成模，此時(shí)任x∈M有表示式：

x=r1x1+r2x2+…+rnxn， r1，r2，…，rn∈A.

模M是有限生成當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)M的每一個(gè)子模集{Ai|i∈I}，若有：

則存在有限子集I0I，使得：

環(huán)對(duì)并與差運(yùn)算封閉的集類(lèi)，測(cè)度論中重要概念之一.設(shè)F是Ω上的一個(gè)非空集類(lèi).如果它對(duì)集的并及差運(yùn)算封閉，即對(duì)任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱(chēng)F為Ω上的環(huán).例如，若F是由實(shí)直線R上任意有限個(gè)左開(kāi)右閉的有限區(qū)間的并集：

的全體構(gòu)成的集類(lèi)，則F是R上的一個(gè)環(huán)。環(huán)也是對(duì)于交與對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算封閉的集類(lèi)，并按這兩種運(yùn)算成為布爾環(huán)(參見(jiàn)第一卷《布爾代數(shù)》)。要把R上的勒貝格測(cè)度和勒貝格-斯蒂爾杰斯測(cè)度以及相應(yīng)的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類(lèi)并研究其性質(zhì)。環(huán)以及半環(huán)、σ環(huán)、代數(shù)、σ代數(shù)等重要集類(lèi)正是為了這一目的而引入的。3