[科普中國]-模同構(gòu)

預(yù)備知識模的同態(tài)映射

設(shè)M 和M' 均為R- 模。映射 為一個加法群同態(tài)，且滿足 ，那么我們稱映射 為M 到M' 的一個模同態(tài)。1

如果N 為M 的一個子模，那么M 到M/N 的自然映射 為一個M 到M/N 的模同態(tài)映射。1

模的分解定理設(shè)映射 為M 到M' 的一個模同態(tài)（M,H 為兩個R -模）。則分解式 成立，知：

其中 為上式定義的 的由 導(dǎo)出的模同態(tài)， 為M 到M/N 的自然模同態(tài)。進一步，有：

（1） 為滿模同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng) 為滿同態(tài)；

（2） 為單模同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng) ；

（3） 為模同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)為 滿同態(tài)，且 。1

定義模同構(gòu)（module isomorphism）是一種特殊的模同態(tài)，模M到N的同態(tài)f若是一一的并且是映上的，則稱f是M到N 的同構(gòu)，這時稱M,N 是同構(gòu)的模，記為M=N 。兩個同構(gòu)的模，從模的結(jié)構(gòu)來看，它們沒有什么區(qū)別。若f 是同構(gòu)，則f 的逆映射 也是同構(gòu)。

廣義模同構(gòu)是一種廣義模同態(tài)。設(shè)A,B 是k-代數(shù)，且 ，M 是A 上的模，N 是B 上的模，M 到N 的k-線性映射 如果滿足 ，則稱 為 到 的廣義模同態(tài)；特別的，如果 是雙射，則 稱為 到 的廣義模同構(gòu)，記作 。2

模的同構(gòu)定理模的第一同構(gòu)定理設(shè) 為模同態(tài)，且 ，那么 。

注意：在證明的過程中運用分解定理，同時需要注意 為到 上的一個滿同態(tài)映射。1

模的第二同構(gòu)定理設(shè)S 和T 為模M 的兩個子模，記 。那么S+T 和S∩T 均為的M子模。進一步，有 。

證明：直接驗證不難知道，S+T 和S∩T 均為M 的子模。

定義映射 ，那么映射f 為模同態(tài)，其同態(tài)核kerf=S∩T ，它的同態(tài)像為 ，從而由第一同構(gòu)定理知結(jié)論成立。1

模的第三同構(gòu)定理設(shè)N≤L≤M （即N 為L 的子模，L 為M 的子模），那么 。

證明：定義映射 ，

則有： 。

再由第一同構(gòu)定理知結(jié)論成立。1

模的對應(yīng)定理定理1設(shè)N 為一個R -模M 的一個子集，記 以及 ，即 為M 的所有包含N 的子模的集合， 為M/N 的所有子模的集合。則映射 為 到 的一個1-1對應(yīng)。其逆映射 滿足 ，這里 為M 到M/N 的自然模同態(tài)。1

證明：我們知道，在群的情形下，群對應(yīng)法則導(dǎo)致 （M 的所有包含N 的加法子群構(gòu)成的集合）到 （ 的所有子群構(gòu)成的集合）的一個1-1對應(yīng)關(guān)系，記為φ。下面我們只需要證明上述對應(yīng)法則滿足模對應(yīng)關(guān)系，為此我們只需要證明 。這里我們用 表示S 為T 的一個子群（但在不至于引起混淆的前提下，我們用“ ”代替“ ”），而用S≤T 表示S 為T 的一個子模。

假設(shè) ，那么 ，因此存在 ，使得x+N=y+N 。從而x-y∈N≤S2 ，但由于 ，故 ，所以 。1

定理2如果R 是含幺交換環(huán)，I 和J是它的理想，則有R-模同構(gòu) 。3