[科普中國(guó)]-茹利亞集測(cè)度

茹利亞集測(cè)度(measure of Julia set)是關(guān)于沒有內(nèi)點(diǎn)的茹利亞集的測(cè)度問題。人們知道，茹利亞集非空。當(dāng)茹利亞集有內(nèi)點(diǎn)時(shí)，它必為整個(gè)平面。一個(gè)有趣的問題是：當(dāng)茹利亞集沒有內(nèi)點(diǎn)時(shí)，其測(cè)度是否為零?對(duì)于超越函數(shù)而言，這個(gè)問題的回答是否定的。

概念茹利亞集測(cè)度(measure of Julia set)是關(guān)于沒有內(nèi)點(diǎn)的茹利亞集的測(cè)度問題。人們知道，茹利亞集非空。當(dāng)茹利亞集有內(nèi)點(diǎn)時(shí)，它必為整個(gè)平面。一個(gè)有趣的問題是：當(dāng)茹利亞集沒有內(nèi)點(diǎn)時(shí)，其測(cè)度是否為零?對(duì)于超越函數(shù)而言，這個(gè)問題的回答是否定的。麥克繆倫(McMullen，C.)于1987年證明了：f(z)=a cos z+b的茹利亞集的測(cè)度大于零。但對(duì)于有理函數(shù)，即使是二次多項(xiàng)式，這個(gè)問題的研究都是很困難的。1

茹利亞集茹利亞集是復(fù)動(dòng)力學(xué)中的最基本概念。設(shè)f(z)為復(fù)平面C上的亞純函數(shù)。取U=C，C*=C\{0}，C'分別對(duì)應(yīng)于f為超越整函數(shù)、亞純函數(shù)f以z=0為極點(diǎn)和皮卡例外值、其他的亞純函數(shù)。法圖集F(f)(或簡(jiǎn)記為F)定義為：F(f)={z∈U|z是正規(guī)點(diǎn)}。茹利亞集J(f)(或簡(jiǎn)記為J)定義為：J(f)=U\F(f)。

法圖集是開集，茹利亞集是非空完全集。對(duì)有理函數(shù)R(z)而言，法圖集和茹利亞集是完全不變集，即R(J)=J=R-1(J)，R(F)=F=R-1(F)。對(duì)超越亞純函數(shù)f，華歆厚和楊重駿證明了下述不變結(jié)果：

其中，PV(f)為f的皮卡例外值集。

測(cè)度數(shù)學(xué)上，測(cè)度（Measure）是一個(gè)函數(shù)，它對(duì)一個(gè)給定集合的某些子集指定一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)可以比作大小、體積、概率等等。傳統(tǒng)的積分是在區(qū)間上進(jìn)行的，后來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發(fā)展出測(cè)度的概念，它在數(shù)學(xué)分析和概率論有重要的地位。1

測(cè)度論是實(shí)分析的一個(gè)分支，研究對(duì)象有σ代數(shù)、測(cè)度、可測(cè)函數(shù)和積分，其重要性在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中都有所體現(xiàn)。

**定義1：**構(gòu)造一個(gè)集函數(shù)，它能賦予實(shí)數(shù)集簇М中的每一個(gè)集合E一個(gè)非負(fù)擴(kuò)充實(shí)數(shù)mE。我們將此集函數(shù)稱為E的測(cè)度。

**定義2：設(shè)Γ是集合X上一σ代數(shù)，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }**是一集合函數(shù)，且ρ滿足：

（1）（非負(fù)性）對(duì)任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規(guī)范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對(duì)任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

則稱ρ是定義在X上的一個(gè)測(cè)度，Γ中的集合是可測(cè)集，不在Γ中的集合是不可測(cè)集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為概率測(cè)度。

超越函數(shù)超越函數(shù)(Transcendental Functions)，指的是變量之間的關(guān)系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算表示的函數(shù)。

歐拉把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)）。

如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，等就屬于超越函數(shù)。如y=arcsinx，y=cosx，它們屬于初等函數(shù)中的初等超越函數(shù)。

超越函數(shù)是指那些不滿足任何以多項(xiàng)式作系數(shù)的多項(xiàng)式方程的函數(shù)**。**說的更技術(shù)一些，單變量函數(shù)若為代數(shù)獨(dú)立于其變量的話，即稱此函數(shù)為超越函數(shù)。例如，對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)即為超越函數(shù)。 超越函數(shù)這個(gè)名詞通常被拿來描述三角函數(shù)，例如正弦、余弦、正割、余割、正切、余切、正矢、半正矢等。

函數(shù)的不定積分運(yùn)算是超越函數(shù)的豐富來源，如對(duì)數(shù)函數(shù)便來自代數(shù)函數(shù)的不定積分。在微分代數(shù)里，人們研究不定積分如何產(chǎn)生與某類“標(biāo)準(zhǔn)”函數(shù)代數(shù)獨(dú)立的函數(shù)，例如將三角函數(shù)與多項(xiàng)式的合成取不定積分。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，超越函數(shù)與代數(shù)函數(shù)相反，是指那些不滿足任何以多項(xiàng)式作系數(shù)的方程的函數(shù)，即函數(shù)不滿足以變量自身的多項(xiàng)式為系數(shù)的多項(xiàng)式方程。換句話說，超越函數(shù)就是"超出"代數(shù)函數(shù)范圍的函數(shù)，也就是說函數(shù)不能表示為有限次的加、減、乘、除、乘方和開方的運(yùn)算。

嚴(yán)格的說，關(guān)于變量z的解析函數(shù)f(z) 是超越函數(shù)，那么該函數(shù)是關(guān)于變量z是代數(shù)獨(dú)立的。

非超越函數(shù)則稱為代數(shù)函數(shù)，代數(shù)函數(shù)的例子有多項(xiàng)式和平方根函數(shù)。

對(duì)代數(shù)函數(shù)進(jìn)行不定積分運(yùn)算能夠產(chǎn)生超越函數(shù)，如對(duì)數(shù)函數(shù)便是在對(duì)雙曲角圍成的面積研究中， 對(duì)倒數(shù)函數(shù)y= k/x不定積分得到的， 以此方式得到的雙曲函數(shù)sinhx、 coshx、tanhx都是超越函數(shù)。

微分代數(shù)的某些研究人員研究不定積分如何產(chǎn)生與某類“標(biāo)準(zhǔn)”函數(shù)代數(shù)獨(dú)立的函數(shù)，例如將三角函數(shù)與多項(xiàng)式的合成取不定積分。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)