[科普中國(guó)]-復(fù)二次超曲面

復(fù)二次超曲面(complex quadric)是復(fù)射影空間中的特殊超曲面。復(fù)射影空間是實(shí)射影空間在復(fù)情形的推廣，是一種典型的復(fù)流形。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，P(C)是普通2維球面S的復(fù)數(shù)表示，稱為黎曼球面。1

概念復(fù)二次超曲面(complex quadric)是復(fù)射影空間中的特殊超曲面。復(fù)射影空間CPm中齊次坐標(biāo)z0，z1，…，zm滿足方程：

的代數(shù)流形，稱為復(fù)二次超曲面。

復(fù)射影空間實(shí)射影空間在復(fù)情形的推廣，是一種典型的復(fù)流形。設(shè)

為n+1維復(fù)空間，把Cn+1中每一條過(guò)原點(diǎn)的復(fù)直線等同于一個(gè)點(diǎn)，便得復(fù)n維射影空間Pn(C)。另一方面，Cn+1\{0}中的兩個(gè)點(diǎn)(z1，z2，…，zn+1)，(z′1，z′2，…，z′n+1)稱為等價(jià)的，如果(z′1，z′2，…，z′n+1)=λ(z1，z2，…，zn+1)，其中λ為一個(gè)非零復(fù)數(shù)。顯然，這是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記此關(guān)系之下，含點(diǎn)(z1，z2，…，zn+1)的等價(jià)類為[z1，z2，…，zn+1]，則Pn(C)便是一切[z1，z2，…，zn+1]之集合，令：

則這是一個(gè)商映射，P(C)具有這個(gè)商映射之下的商拓?fù)?。容易證明，P(C)在自然結(jié)構(gòu)之下，成為緊連通復(fù)流形。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，P(C)是普通2維球面S的復(fù)數(shù)表示，稱為黎曼球面。

射影空間整體幾何最基本的研究對(duì)象之一。射影空間的概念最初產(chǎn)生于古典射影幾何。對(duì)于射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形)，為方便起見(jiàn)引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念，即規(guī)定平面上每條直線上有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，兩條直線平行就是相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)組成一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線。這種構(gòu)造方法還可以推廣到高維空間，建立n維(實(shí))射影空間PR。在n維射影空間中常采用齊次坐標(biāo)(X0∶X1∶…∶Xn)，其中X0，X1，…，Xn不全為0；若a≠0，則(aX0∶aX1∶…∶aXn)與(X0∶X1∶…∶Xn)表示同一個(gè)點(diǎn)。因此n維(實(shí))射影空間同構(gòu)于(R-{0})/R。進(jìn)一步的研究表明PR是緊致解析流形。若令Ui(0≤i≤n)為PR中坐標(biāo)Xi≠0的點(diǎn)全體，則UiR，且U0，U1，…，Un組成PnR的一個(gè)開覆蓋。上述構(gòu)造方法可以推廣到任意體K上，建立K上的n維射影空間PK。在概形理論中，還將射影空間建立在整數(shù)環(huán)Z上，即建立射影概形PZ。由此對(duì)任意概形X可以建立PnX，它是X和PnZ(在Spec Z上)的纖維積。特別地，若X=Spec K(K為域)，則PnX=PnK。

由于射影空間的性質(zhì)非常豐富難以全面列舉，僅舉數(shù)例如下：

1.P1R同胚于圓，P1C可看做添上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面，同胚于球面。

2.P2R是單側(cè)曲面，可以同胚地嵌入四維空間R4，但不能同胚地嵌入三維空間R3，P2C是代數(shù)極小曲面。

3.PnC是克勒流形，它的閉解析子空間都是代數(shù)的。

4.對(duì)任意域k，Pnk是齊性空間，其切叢由整體向量場(chǎng)生成，其自同構(gòu)群為射影群PSL(n+1，k)，其皮卡群

代數(shù)流形代數(shù)流形是復(fù)射影空間中的代數(shù)子集。若P(C)的一個(gè)子流形是P(C)的一個(gè)代數(shù)子集，則稱這個(gè)復(fù)子流形為代數(shù)子流形。若一個(gè)復(fù)流形是雙全純于某個(gè)復(fù)射影空間的一個(gè)代數(shù)子流形，也稱這個(gè)復(fù)流形為代數(shù)流形。

子流形設(shè)N，M分別為n，m維的微分流形。F為N到M的C映射。若F的秩(rankF)在N的每點(diǎn)都等于n，則稱映射F為N到M的一個(gè)浸入。若浸入F是單射，則稱F為1-1浸入。

設(shè)F為N到M的1-1浸入，此映射下的像?=F(N)?M，在?上賦予拓?fù)浜臀⒎纸Y(jié)構(gòu)：設(shè)(U，?)為N的坐標(biāo)鄰域，令V=F(U)，=?°F，則(V，)為?上的坐標(biāo)鄰域。使得F成為N到?的微分同胚，則?稱為M的n維浸入子流形。

設(shè)F為N到M的1-1浸入，若F同時(shí)是N到M內(nèi)的同胚映射，亦即，在映射的像?=F(N)取M中的子空間拓?fù)鋾r(shí)，F(xiàn)是N到?上的同胚映射。則稱?為M的n維嵌入子流形。映射F稱為嵌入映射。

浸入和嵌入的區(qū)別是就整體而言，在局部二者是一致的。事實(shí)上，若F為N到M的浸入映射，則在任何點(diǎn)P∈N，總存在P的坐標(biāo)鄰域 (U，)，使得F限制在U上F|u是U到M內(nèi)的嵌入。

設(shè)N是微分流形M的子集，具有以下性質(zhì)：N的每點(diǎn)P，存在包含P的M中的坐標(biāo)鄰域(U，?)其局部坐標(biāo)為x，…，x，使得： (1)(p)=(0，…，0) ∈R。(2) (U)=Cε(0)——以原點(diǎn)為中心的立方體鄰域。(3) ?(U∩N) = {x∈Cmε(0)|xn+1=…=xm=0}。具有如上性質(zhì)的子集N稱M的n維正則子流形，正則子流形本質(zhì)上就是嵌入子流形。3

復(fù)流形區(qū)圖中映射是映到復(fù)空間的流形.設(shè)M是一個(gè)仿緊豪斯多夫拓?fù)淇臻g，若在M上存在一個(gè)圖冊(cè)A={(Ui，φi)|i∈I}，滿足下列條件，則稱A是M的一個(gè)n維復(fù)流形結(jié)構(gòu)，M為復(fù)n維流形，或n維復(fù)流形：

1.對(duì)所有的i∈I，φi是Ui到Cn的開子集φi(Ui)上的一個(gè)同胚；

2.對(duì)于任意的i，j∈I，當(dāng)Ui∩Uj≠?時(shí)，φi°φ-1j|φj(Ui∩Uj)：φj(Ui∩Uj)→φi(Ui∩Uj)是一個(gè)雙全純映射。

此處通?？傉J(rèn)為圖冊(cè)A是最大的.即若(U，φ)是M的任一個(gè)區(qū)圖且φ°φ-1j是雙全純的，則(U，φ)∈A。容易證明，每個(gè)n維復(fù)流形有2n維實(shí)解析流形的結(jié)構(gòu)，作為實(shí)解析流形是可定向的而且具有一個(gè)由復(fù)結(jié)構(gòu)決定的特定的定向。4

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)