[科普中國(guó)]-局部極值

局部極值的定義

設(shè) 是歐氏空間 中某一區(qū)域 上的n元實(shí)函數(shù)，對(duì)于 ，若存在某個(gè) ．使得所有 ，滿(mǎn)足 ，則稱(chēng) 為 在R上的局部極小點(diǎn)(或稱(chēng)相對(duì)極小點(diǎn))， 為局部極小值。若對(duì)于所有 ，且與 的距離小于 的 ，有 ，則稱(chēng) 為 在R上的嚴(yán)格局部極小點(diǎn)， 為嚴(yán)格局部極小值。

設(shè) 是歐氏空間 中某一區(qū)域 上的n元實(shí)函數(shù)。若點(diǎn) 對(duì)于所有 ，都有 ，則稱(chēng) 為 在 上的全局極小點(diǎn)，稱(chēng) 為全局極小值。若對(duì)于所有 ，且 ，都有 則稱(chēng) 為 在R上的嚴(yán)格全局極小點(diǎn)， 為嚴(yán)格全局極小值。

對(duì)于極大點(diǎn)與極大值，不難仿上給出相應(yīng)定義。2

極值存在的條件極值存在的必要條件定理1：(極值存在的必要條件)設(shè)是定義在區(qū)域上的實(shí)值函數(shù)，，是的內(nèi)點(diǎn)。若在處可微，且在處取得局部極小值．則必有

滿(mǎn)足上式的點(diǎn)通常稱(chēng)為駐點(diǎn)。駐點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部可能取得極值的點(diǎn)，即在區(qū)域內(nèi)部，極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

極值存在的充分條件定理2： (極值存在的充分條件) 設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)域上的實(shí)值函數(shù)，，是R的內(nèi)點(diǎn)，在R上二次連續(xù)可微。若在處滿(mǎn)足，且當(dāng)點(diǎn)處的海賽矩陣正定(或負(fù)定)時(shí)，則在處取得嚴(yán)格局部極小值(或嚴(yán)格局部極大值)。2

例題解析例如，求函數(shù)的極值點(diǎn)及極值。

**解：**令

解得駐點(diǎn)在駐點(diǎn)處，海賽矩陣

是負(fù)定的(注：二次函數(shù)的海賽矩陣均為常數(shù)陣)，所以點(diǎn)(0，0，0)為極大點(diǎn)．其極大值為。2