[科普中國]-積分微分方程

定義

如果一個方程中，不僅出現(xiàn)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而且未知函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)還出現(xiàn)在積分號下面，這樣的方程就稱為積分微分方程。在擴(kuò)散和輻射等物理問題中會碰到這種方程。1

普朗特積分微分方程【Prandtl integro-differential equation】

普朗特積分微分方程是有限翼展的飛機(jī)機(jī)翼的基本微分方程。

在推導(dǎo)普朗特積分方程時，假設(shè)機(jī)翼的每個元處于繞翼的平面平行流體中，得到的方程具有形式，其中，F(xiàn)是未知函數(shù)，B和f是給定函數(shù)，B(t)=cb(t)，f(t)=vω(t)，廣義積分理解為柯西主值的意義。

在方程中出現(xiàn)的量的物理意義如下：2a是機(jī)翼的翼展，它假定相對yz平面是對稱的且z軸方向與無窮遠(yuǎn)處氣流方向相重合，b(x)代表對于橫坐標(biāo)x的翼剖面翼弦，F(xiàn)(x)是該剖面周圍氣流的環(huán)流，c是常數(shù)，v是無窮氣流的速度，ω是依賴于剖面曲率和機(jī)翼扭曲的函數(shù)。

普朗特積分微分方程只是在非嚴(yán)格意義的假設(shè)下才能以封閉形式求解。在一般情況下，它可以轉(zhuǎn)化為弗雷德霍姆積分方程。