[科普中國(guó)]-軟層

軟層是一種特殊的層。一個(gè)層(F,π,X) ，若對(duì) X 的所有閉子集 K 和截面 s ， s 可擴(kuò)張為 X 上的一個(gè)連續(xù)截面，則稱(chēng) (F,π,X) 為軟層。

簡(jiǎn)介軟層是一種特殊的層。

一個(gè)層 (F,π,X) ，若對(duì) X 的所有閉子集 K 和截面，s 可擴(kuò)張為 X 上的一個(gè)連續(xù)截面，即自然映射 對(duì) X 的所有閉子集 K 是滿(mǎn)的，則稱(chēng) (F,π,X) 為軟層。1

層數(shù)學(xué)上，在給定拓?fù)淇臻gX上的一個(gè)層(sheaf)(或譯束、捆)F對(duì)于X的每個(gè)開(kāi)集給出一個(gè)集合或者一個(gè)更豐富的結(jié)構(gòu)F(U) 。這個(gè)結(jié)構(gòu)F(U) 和把開(kāi)集限制(restricting)到更小的子集的操作相容，并且可以把小的開(kāi)集粘起來(lái)得到更大的。一個(gè)**預(yù)層(presheaf)**和一個(gè)層相似，但它可能不可以粘起來(lái)。事實(shí)上，層使得我們可以用一種細(xì)致的方式討論什么是局部性質(zhì)，就像應(yīng)用在函數(shù)上的層。

層用于拓?fù)?，代?shù)幾何和微分幾何，只要想跟蹤給定的幾何空間的隨著每個(gè)開(kāi)集變化的代數(shù)數(shù)據(jù)，就可以用層。他們是研究局部有變化(依賴(lài)于所選開(kāi)集的)的對(duì)象的全局工具。這樣，它們是研究有局部本質(zhì)的實(shí)體的全局行為的自然工具，例如開(kāi)集，解析函數(shù)，流形，等等。

作為一個(gè)典型的例子，考慮拓?fù)淇臻gX，對(duì)于每個(gè)X中的開(kāi)集U，令F(U) 為所有連續(xù)函數(shù)U→R的集合。如果V是U的開(kāi)子集，則U上的函數(shù)可以限制到V上，而我們得倒映射F(U) →F(V) 。"粘合"描述了下列過(guò)程：假設(shè)Ui是給定的開(kāi)集其并為U，對(duì)于每個(gè)i我們給定一個(gè)元素fi∈F(Ui) ，一個(gè)連續(xù)函數(shù)fi:Ui→R。如果這些函數(shù)在重合的地方相等，則我們可以一種唯一的方式把他們粘起來(lái)得倒一個(gè)連續(xù)函數(shù)f:U→R，它和所有給定的函數(shù)fi一致。所有集合F(U) 的類(lèi)和限制映射F(U) →F(V) 成為一個(gè)X上的集合的層。進(jìn)一步的，每個(gè)F(U) 是一個(gè)交換環(huán)，而限制映射是環(huán)同態(tài)，這使F成為X上的環(huán)的層。

作為很相似的例子，考慮一個(gè)微分流形X，對(duì)于X的每個(gè)開(kāi)集U，令F(U) 為所有可微函數(shù)U→R的集合。這里同樣的有粘合，并且我們得倒X上的環(huán)的層。另一個(gè)X上的層是，對(duì)于X的每個(gè)開(kāi)集U給定所有定義在U上的可微向量場(chǎng)的向量空間。限制和粘合向量場(chǎng)和函數(shù)上的操作一樣，然后我們得倒流形X上的向量空間的層。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)