[科普中國(guó)]-廣義解

基本介紹

古典解中對(duì)解的光滑性要求太強(qiáng)了，而為了使解能滿足這樣的光滑性，又要對(duì)定解問(wèn)題中的初值、邊值、系數(shù)、非齊次項(xiàng)等加上很強(qiáng)的光滑性。從物理上看，這些條件似乎過(guò)于人為，在具體應(yīng)用時(shí)，帶來(lái)一定的束縛。甚至有些物理上提出的很簡(jiǎn)單的定解問(wèn)題，在嚴(yán)格的古典解定義下都是無(wú)解的。因此,必須放松對(duì)解的光滑性的要求，擴(kuò)大定義解的函數(shù)類.擴(kuò)大了解的函數(shù)類以后得到的解稱為廣義解。

許多描述實(shí)際物理現(xiàn)象的偏微分方程定解問(wèn)題不可能有經(jīng)典解。例如，當(dāng)ψ∈C2(R)時(shí)，弦振動(dòng)方程柯西問(wèn)題

有唯一解

如果弦的初始狀態(tài)呈折線，即ψ(x)連續(xù)但在一些點(diǎn)上沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，則由(3)給出的u(x，t)只在ψ有二階導(dǎo)數(shù)的那些點(diǎn)上滿足方程(1)，它不是柯西問(wèn)題(1)，(2)在經(jīng)典意義下的解，但它卻是在初始狀態(tài)(1)下弦的真實(shí)物理狀態(tài)，因此稱它為柯西問(wèn)題(1)，(2)的廣義解。

定義廣義解的方法對(duì)不同的偏微分方程定解問(wèn)題(甚至對(duì)同一定解問(wèn)題)，可以有不同的廣義解定義，但它們都是經(jīng)典解的推廣，因此，經(jīng)典解必定是廣義解，現(xiàn)代定義廣義解的方法主要有兩種：一種是將經(jīng)典解序列在某個(gè)函數(shù)空間中的極限定義為廣義解，稱為強(qiáng)解；一種是通過(guò)所給偏微分算子的共軛(伴隨)算子來(lái)定義廣義解，稱為弱解。

定義廣義解的原則具體定義廣義解的方式有很多種，通常有兩個(gè)原則：

(1)古典解必是廣義解；

(2)廣義解是唯一的，且按某種度量連續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)。

例如考慮泊松方程的狄利克雷向題

如果存在一個(gè)函數(shù)(表示函數(shù)絕對(duì)值的p次方在勒貝格積分的意義下可積的函數(shù)類)，對(duì)于所有的都有則稱u為原定解問(wèn)題的L'-弱解。L'-弱解是一種重要的廣義解2。

廣義解稱為古典解的推廣，自然應(yīng)滿足以下三點(diǎn)：

(1) 古典解必為廣義解；

(2) 當(dāng)廣義解具有古典解所要求的光滑性時(shí)，則它一定是古典解；

(3) 廣義解是適定的3。