[科普中國]-邱奇數(shù)

概述

邱奇編碼是把數(shù)據(jù)和運算符嵌入到lambda演算內(nèi)的一種方式，最常見的形式是邱奇數(shù)，它是使用lambda符號的自然數(shù)的表示法。這種方法得名于阿隆佐·邱奇，他首先以這種方法把數(shù)據(jù)編碼到lambda演算中1。

在其他符號系統(tǒng)中通常被認定為基本的項（比如整數(shù)、布爾值、有序?qū)?、列表和tagged unions）都被映射到使用 邱奇編碼的高階函數(shù)；根據(jù)邱奇-圖靈論題我們知道任何可計算的運算符（和它的運算數(shù)）都可以用邱奇編碼表示。

很多學數(shù)學的學生熟悉可計算函數(shù)集合的哥德爾編號；邱奇編碼是定義在lambda抽象而不是自然數(shù)上的等價運算。

Church數(shù)Church數(shù)是在Church編碼下的自然數(shù)的表示法。表示自然數(shù)n的高階函數(shù)是把任何其他函數(shù)f映射到它的n重函數(shù)復合的函數(shù)。

定義Church數(shù)0, 1, 2, ...在lambda演算中被定義如下：

0 ≡ λf.λx. x

1 ≡ λf.λx. f x

2 ≡ λf.λx. f (f x)

3 ≡ λf.λx. f (f (f x))

...

n ≡ λf.λx. fn x

...

就是說，自然數(shù) {\displaystyle n} n被表示為Church數(shù)n，它對于任何lambda-項F和X有著性質(zhì)：

n F X =β Fn X。

使用Church數(shù)的計算在lambda演算中，數(shù)值函數(shù)被表示為在Church數(shù)上的相應函數(shù)。這些函數(shù)在大多數(shù)函數(shù)式語言中可以通過lambda項的直接變換來實現(xiàn)（服從于類型約束）。

加法函數(shù) plus(m,n)=m+n 利用了恒等式 f^{{(m+n)}}(x)=f^{m}(f^{n}(x))。

plus ≡ λm.λn.λf.λx. m f (n f x)

后繼函數(shù)succ(n)=n+1 β-等價于（plus 1）。

succ ≡ λn.λf.λx. f (n f x)

乘法函數(shù)times(m,n)=m*n利用了恒等式 f^{{(m*n)}}=(f^{m})^{n}。

mult ≡ λm.λn.λf. n (m f)

指數(shù)函數(shù) exp(m,n)=m^{n}由Church數(shù)定義直接給出。

exp ≡ λm.λn. n m

前驅(qū)函數(shù) 通過生成每次都應用它們的參數(shù)g于f的n重函數(shù)復合來工作；基礎情況丟棄它的f復本并返回x。

pred ≡ λn.λf.λx. n (λg.λh. h (g f)) (λu. x) (λu. u)

Church布爾值Church布爾值是布爾值真和假的Church編碼。布爾值被表示為兩個參數(shù)的函數(shù)，它得到這兩個參數(shù)中的一個。

lambda演算中的形式定義：

true ≡ λa.λb. a

false ≡ λa.λb. b

從Church布爾值推導來的布爾算術的函數(shù)：

and ≡ λm.λn.λa.λb. m (n a b) b

or ≡ λm.λn.λa.λb. m a (n a b)

not ≡ λm.λa.λb. m b a