[科普中國(guó)]-輸出反饋H∞控制

H∞控制方法始于1981年，Zame把SISO線性反饋系統(tǒng)的靈敏度問(wèn)題看作是H∞最小范數(shù)問(wèn)題，并涉及了古典控制理論的一些基本問(wèn)題，立即引起了人們的極大注意。后來(lái)，H∞范數(shù)延伸到更為一般的問(wèn)題，特別是在考慮魯棒性問(wèn)題時(shí)，它比其它方法更為直接。H∞控制的表示很簡(jiǎn)單，但求解過(guò)程卻十分復(fù)雜。目前主要有頻域法、多項(xiàng)式法、狀態(tài)空間法。輸出反饋H∞控制是狀態(tài)空間法中的一種。

跟蹤問(wèn)題、模型匹配問(wèn)題，魯棒穩(wěn)定問(wèn)題、加權(quán)混合靈敏度問(wèn)題等各種控制問(wèn)題都可以化為如圖1所示的H∞標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題。

其中：

G、k分別表示廣義受控對(duì)象和控制器；

W：l維外部輸入信號(hào)；

z：ρ維受控輸出；

u：n維控制信號(hào)；

y：m維量測(cè)輸出。

按w、z、u、y 的維數(shù)將G(s)分塊為：

有

H∞控制的標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題是：

求一真實(shí)有理的K，使G穩(wěn)定，并使由W到Z的傳遞函數(shù)矩陣：

的范數(shù)最小，即

或者：求所有真實(shí)有理的K，使G穩(wěn)定，且使

前者稱為H∞最優(yōu)控制問(wèn)題，后者稱為H∞次優(yōu)控制問(wèn)題。

H∞控制的表示很簡(jiǎn)單，但求解過(guò)程卻十分復(fù)雜。目前主要有頻域法、多項(xiàng)式法、狀態(tài)空間法。輸出反饋H∞控制是狀態(tài)空間法中的一種1。

設(shè)廣義受控對(duì)象的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為：

X∈ ，A∈ ，B1∈ ，B2∈ ，C1∈ ，C2∈ ，Dij具有相應(yīng)維數(shù)。

假設(shè)：

（1）（A、B2）是能穩(wěn)定的，而（C2、A）是能檢測(cè)的。

（2） 為列滿秩，且存在矩陣D⊥，使得（ ,D⊥）為正交陣。

（3）

對(duì)所有的ω∈ R均為列滿秩。

（4）

對(duì)所有的ω∈ R均為列滿秩。

（5） =0。

定義：

如果 存在，

狀態(tài)反饋陣：

輸出注入陣：

如果系統(tǒng)G滿足假設(shè)上述假設(shè)，則存在控制器K，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定且（3）式成立的充分必要條件為：

（1）γ>max( )

（2）H∞∈ dom(Ric)，且X∞=Ric(H∞)≥ 0

（3）J∞∈ dom(Ric)，且y∞=Ric(J∞)≥ 0

K=Fe(Ka，Q)，存在 Q∈ RH∞，||Q||∞