[科普中國]-胞中粒子法

技術(shù)方面

對于許多類型的問題，Buneman，Dawson，Hockney，Birdsall，Morse等發(fā)明的古典PIC方法是相對直觀和直接實(shí)現(xiàn)的。這可能在很大程度上取得了成功，特別是對于等離子體模擬，該方法通常包括以下步驟：

（1）運(yùn)動(dòng)方程的整合。

（2）將電荷和電流源術(shù)語插入到場網(wǎng)格中。

（3）計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)上的字段。

（4）從網(wǎng)格到粒子位置的場的插值。

包括粒子僅通過平均場的相互作用的模型稱為PM（粒子網(wǎng)格）。包括直接二元相互作用的那些是PP（粒子 - 粒子）。具有兩種類型的相互作用的模型稱為PP-PM或P3M。

自從早期以來，已經(jīng)認(rèn)識到，PIC方法容易受到所謂的離散粒子噪聲的誤差的影響。 3這種誤差是統(tǒng)計(jì)學(xué)的，今天它比傳統(tǒng)的固定電網(wǎng)方法（如歐拉或半拉格朗日方案）仍然不太了解。

現(xiàn)代幾何PIC算法基于非常不同的理論框架。這些算法使用離散歧管工具，內(nèi)插差分形式，以及規(guī)范或非規(guī)范的symplectic積分器來保證計(jì)量不變和電荷守恒，能量動(dòng)量，更重要的是粒子場系統(tǒng)的無限維度結(jié)構(gòu)。 4這些期望的特征歸因于幾何PIC算法建立在更基礎(chǔ)的領(lǐng)域理論框架上，并且與完美形式直接相關(guān)，即物理學(xué)的變分原理。

PIC等離子體模擬技術(shù)的基礎(chǔ)知識在等離子體研究領(lǐng)域內(nèi)，研究了不同物種（電子，離子，中性粒子，分子，灰塵粒子等）的系統(tǒng)。 因此，與PIC代碼相關(guān)聯(lián)的方程組是作為運(yùn)動(dòng)方程的洛倫茲力，在代碼的所謂的推動(dòng)器或粒子運(yùn)動(dòng)器中求解，并且Maxwell方程確定在（場）求解器中計(jì)算的電場和磁場。5

超粒子所研究的真實(shí)系統(tǒng)在其含有的顆粒數(shù)量方面往往非常大。 為了使模擬有效或者可能，使用所謂的超級粒子。 超粒子（或大顆粒）是表示許多真實(shí)粒子的計(jì)算粒子; 在等離子體模擬的情況下，可能是數(shù)百萬個(gè)電子或離子，或者例如在流體模擬中的渦流元件。 允許重新調(diào)整顆粒數(shù)，因?yàn)槁鍌惼澚H取決于電荷與質(zhì)量比，因此超級顆粒將遵循與真實(shí)顆粒相同的軌跡。

必須選擇對應(yīng)于超級粒子的真實(shí)粒子的數(shù)量，使得可以在粒子運(yùn)動(dòng)上收集足夠的統(tǒng)計(jì)量。 如果系統(tǒng)中不同物種的密度（例如離子和中性粒子）之間存在顯著的差異，則可以使用實(shí)際到超級粒子的比例。

顆粒動(dòng)力即使使用超級顆粒，模擬顆粒的數(shù)量通常非常大（> 105），并且通常粒子移動(dòng)器是PIC最耗時(shí)的部分，因?yàn)楸仨毞謩e對每個(gè)顆粒進(jìn)行。 因此，推動(dòng)器需要高精度和高速度，并且花費(fèi)大量精力來優(yōu)化不同的方案。

用于粒子移動(dòng)器的方案可以分為兩類：隱式和顯式求解器。 雖然隱式解算器（例如隱式歐拉方案）從已經(jīng)更新的字段計(jì)算粒子速度，但是明確的求解器僅使用來自前一時(shí)間步長的舊力，因此更簡單和更快，但是需要較小的時(shí)間步長。 兩種經(jīng)常使用的方案是跨越式方法6和Boris方案，這是明確的求解器。

對于等離子體應(yīng)用，跳躍法采用以下形式：

其中下標(biāo)k是指從上一個(gè)時(shí)間步長到下一個(gè)時(shí)間步長的更新量，并且在通常的時(shí)間步長之間計(jì)算速度。

相比之下，鮑里斯方程式是：

由于其極好的長期準(zhǔn)確性，鮑里斯算法是推進(jìn)帶電粒子的實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)。 最近意識到，鮑里斯算法的極好的長期準(zhǔn)確性是由于它節(jié)省相位空間體積的事實(shí)，即使它不是令人滿意的。 通常與symplectic算法相關(guān)聯(lián)的能量誤差的全局約束對于Boris算法仍然是一致的，使其成為等離子體多尺度動(dòng)力學(xué)的有效算法。

場求解器用于求解麥克斯韋方程（或更一般地，偏微分方程（PDE））的最常用的方法屬于以下三類之一：

（1）有限差分法（FDM）

（2）有限元法（FEM）

（3）光譜法

使用FDM，連續(xù)域被替換為計(jì)算電場和磁場的點(diǎn)的離散網(wǎng)格。然后用相鄰網(wǎng)格點(diǎn)值之間的差值逼近衍生物，因此PDE變?yōu)榇鷶?shù)方程。

使用FEM，連續(xù)域被分為元素的離散網(wǎng)格。 PDE被視為特征值問題，并且最初使用本地化在每個(gè)元素中的基函數(shù)來計(jì)算試驗(yàn)解。然后通過優(yōu)化獲得最終解決方案，直到達(dá)到所需的精度。

此外，諸如快速傅立葉變換（FFT）的頻譜方法也將PDE轉(zhuǎn)換為特征值問題，但是這一次基本函數(shù)是高階的，并且在整個(gè)域上全局定義。在這種情況下，域本身并不離散，它仍然是連續(xù)的。再次，通過將基函數(shù)插入特征值方程中找到試驗(yàn)解，然后進(jìn)行優(yōu)化以確定初始試驗(yàn)參數(shù)的最佳值。

粒子和場權(quán)重名稱“粒子在電池”起源于等離子體宏觀數(shù)量（數(shù)量密度，電流密度等）分配給模擬粒子（即粒子加權(quán)）的方式。粒子可以位于連續(xù)域的任何位置，但宏數(shù)據(jù)僅在網(wǎng)格點(diǎn)上計(jì)算，就像字段一樣。為了獲得宏觀數(shù)量，假設(shè)顆粒具有由形狀函數(shù)確定的給定“形狀”

其中x是粒子的坐標(biāo)，X是觀察點(diǎn)。7也許形狀函數(shù)最簡單和最常用的選擇是所謂的單元格（CIC）方案，它是第一級（線性）加權(quán)方案。不管什么方案，形狀函數(shù)必須滿足以下條件：空間各向同性，電荷守恒和高階項(xiàng)的增加精度（收斂）。

從場解算器獲得的場僅在網(wǎng)格點(diǎn)上確定，不能直接用于粒子移動(dòng)器來計(jì)算作用在粒子上的力，而必須通過場權(quán)重進(jìn)行內(nèi)插：

其中下標(biāo)i標(biāo)注網(wǎng)格點(diǎn)。為了確保作用在粒子上的力自動(dòng)一致地獲得，從網(wǎng)格點(diǎn)上的粒子位置計(jì)算宏數(shù)量和從網(wǎng)格點(diǎn)到粒子位置的插值場的方式也必須一致，因?yàn)樗鼈兌汲霈F(xiàn)在Maxwell方程。最重要的是，場插值方案應(yīng)該節(jié)省動(dòng)量。這可以通過為粒子和場選擇相同的加權(quán)方案并且同時(shí)確保場求解器的適當(dāng)?shù)目臻g對稱性（即，沒有自力并且滿足動(dòng)作反應(yīng)規(guī)律）來實(shí)現(xiàn)。7

碰撞由于場求解器需要沒有自力，所以在一個(gè)單元內(nèi)，一顆顆粒所產(chǎn)生的場必須隨著離粒子距離的減小而減小，因此細(xì)胞內(nèi)部的粒子之間的力被低估了。這可以通過帶電粒子之間的庫侖碰撞來平衡。模擬每一對大系統(tǒng)的交互將在計(jì)算上太昂貴，因此已經(jīng)開發(fā)了幾種蒙特卡羅方法。廣泛使用的方法是二次碰撞模型，其中粒子根據(jù)其細(xì)胞進(jìn)行分組，然后這些粒子隨機(jī)配對，最后成對相互碰撞。

在真正的等離子體中，許多其它反應(yīng)可能起作用，從彈性碰撞（例如帶電和中性粒子之間的碰撞）到非彈性碰撞（例如電子 - 中性離子化碰撞）到化學(xué)反應(yīng);每個(gè)人需要單獨(dú)處理。處理帶電中立碰撞的大多數(shù)碰撞模型都使用直接的蒙特卡羅方案，其中所有粒子都攜帶有關(guān)其碰撞概率的信息，或者不考慮所有粒子的零碰撞方案[11] [12]使用每個(gè)帶電物種的最大碰撞概率。

精度和穩(wěn)定性條件在PIC的每個(gè)仿真方法中，時(shí)間步長和網(wǎng)格尺寸也必須在PIC中得到很好的選擇，從而在問題中正確解決了感興趣的時(shí)間和長度尺度現(xiàn)象。此外，時(shí)間步長和網(wǎng)格大小會(huì)影響代碼的速度和準(zhǔn)確性。

對于使用顯式時(shí)間積分方案（例如最常使用的跳躍）的靜電等離子體模擬，關(guān)于網(wǎng)格大小△x和時(shí)間步長△t的兩個(gè)重要條件應(yīng)該滿足以確保解決方案的穩(wěn)定性：

這可以考慮一維非磁化等離子體的諧波振蕩。后一個(gè)條件是嚴(yán)格要求的，但與節(jié)能相關(guān)的實(shí)際考慮建議使用更嚴(yán)格的約束，其中因子2被數(shù)字?jǐn)?shù)量級更小。典型的是使用。 7其中，c是光速。

應(yīng)用在等離子體物理學(xué)中，PIC仿真已被成功地用于研究極光電離層中的激光 - 等離子體相互作用，電子加速和離子加熱，磁流體動(dòng)力學(xué)，磁重新連接以及托卡馬克的離子 - 溫度 - 梯度和其他微穩(wěn)定性，此外，真空放電， 和灰塵等離子體。8

混合模型可以使用PIC方法進(jìn)行某些物種的動(dòng)力學(xué)處理，而使用流體模型模擬其他物種（即麥克斯韋）。

等離子體物理學(xué)之外的PIC模擬也被應(yīng)用于固體和流體力學(xué)中的問題。