[科普中國(guó)]-Ward-Takahashi恒等式

若多體系統(tǒng)的拉氏函數(shù)具有對(duì)稱性，它在連續(xù)對(duì)稱群G的宇觀作用下不變，那么閉路格林函數(shù)將滿足一組恒等式，稱為Ward-Takahashi恒等式。

概念若多體系統(tǒng)的拉氏函數(shù)具有對(duì)稱性，它在連續(xù)對(duì)稱群 的宇觀作用下不變，那么閉路格林函數(shù)將滿足一組恒等式，稱為 恒等式。

令 表示場(chǎng)量， 為感興趣的復(fù)合算子， 和 都有許多分量，組成群 的表示的基。在群 的無(wú)窮小變換下，設(shè) 和 的變化規(guī)則為

其中

為時(shí)空坐標(biāo)在群 作用下的變換； 為無(wú)窮小參量，它共有 個(gè)， 是群 的維數(shù)，或它的生成元的個(gè)數(shù)； 和 分別為群 的生成元作用在 和 上的矩陣。

容易證明

以及

下面，我們令 為 的任意無(wú)窮小函數(shù)，容易證明拉氏函數(shù) 有下列變換關(guān)系：

其中

為與 方向上變換相連系的流。若拉氏函數(shù)在群 的宇觀變換下不變，應(yīng)有

或流 滿足關(guān)系

上式表明，當(dāng) 為運(yùn)動(dòng)方程時(shí)的解時(shí)，相應(yīng)的流守恒， 。將 代入 式子中，對(duì)任意的無(wú)窮小函數(shù) ，當(dāng)拉氏函數(shù)具有群 的宇觀不變性時(shí)，得到關(guān)系

我們將用上式求出閉路格林函數(shù)的生成泛函所滿足的 恒等式。1

基本原理將閉路格林函數(shù)的生成泛函寫(xiě)成 積分路徑的形式，并引進(jìn)序參量 的外源 ，有

其中 為歸一化因子。在上式中，假定在閉路上，正支的外源和負(fù)支的外源不等。

在上式中作積分變量的變換，將換成

為滿足下列邊界條件的無(wú)窮小函數(shù)

經(jīng)過(guò)這一積分變量的變換，生成泛函是不變的，因?yàn)樗且粋€(gè)么正變換，路徑積分內(nèi)的測(cè)度也不變。因此，準(zhǔn)確到的一級(jí)小量得到如下的量應(yīng)為零：

在上式第一項(xiàng)中作分部積分，并注意的邊界條件，得到

上式就是我們求得的恒等式。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)