[科普中國(guó)]-L類函數(shù)

L-函數(shù)是數(shù)論中神秘而特別常見的研究對(duì)象，最簡(jiǎn)單的例子就是Rie-mann ζ函數(shù)。類似于Riemann ζ函數(shù)，一般的L-函數(shù)也存在與之相關(guān)的廣義Riemann假設(shè)、廣義Ramanujan猜想等問題。1

定義設(shè)X為Dirichlet本原特征，定義

為Dirichlet L函數(shù)．

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/Y8Ib9FzNdxxQi0q2yulVzZFzHc2wGR5cNqW7.jpg" alt="" /> ，故可由此定義完全DirichletL函數(shù)

其中

X為偶特征, X為奇特征.

定理定理一 設(shè)X≠1(即為非平凡特征)，則L(s,X)在區(qū)域Re(s)>0收斂，且在其緊集中一致收斂．而當(dāng)Re(s)>1時(shí)有Euler積.

定理二設(shè) 為m級(jí)分圓域，則

其中X取滿足N(X)|m的Dirichlet本原特征.

證明 只需證明 時(shí)的情況，此時(shí)

因此，只需證明

對(duì)任意素?cái)?shù)均成立.

設(shè) 則p在K中的素分解為

f是使 的最小正整數(shù)， ,故有

而滿足 的X的全體即為Gm'。當(dāng)X過Gm'時(shí)，X(p)過f次單位根乘群W共 .故可得

從而定理得證2.

應(yīng)用作為千禧難題之一的黎曼猜想，長(zhǎng)期以來備受許多數(shù)學(xué)工作者們的關(guān)注。1989年，Selberg為了研究L-函數(shù)的線性組合的值分布，以Riemann zeta函數(shù)為原型，定義了一類Dirichlet級(jí)數(shù)，其滿足歐拉乘積，解析延拓，Riemann-型函數(shù)方程，且提出了關(guān)于這一類函數(shù)的幾個(gè)基本猜想。引人興趣的是，Selberg指出這些猜想緊密聯(lián)系著數(shù)論中的某些相關(guān)的經(jīng)典猜想。從此而后,這一類所謂的Selberg類L-函數(shù)成為了復(fù)分析理論中的另一個(gè)非常熱門的研究課題，也是現(xiàn)代解析數(shù)論中的重要研究對(duì)象，但是對(duì)于這一類函數(shù)的理解尚未達(dá)到一個(gè)完整的框架。Selberg猜測(cè)，黎曼假設(shè)對(duì)所有Selberg類中的函數(shù)L成立。由黎曼猜想衍生出來的一類重要問題是關(guān)于簡(jiǎn)單零點(diǎn)在全部非平凡零點(diǎn)中所占比例的估計(jì)。.數(shù)學(xué)家們?cè)毡椴聹y(cè)，函數(shù)L的所有零點(diǎn)都是簡(jiǎn)單零點(diǎn)，我們稱之為簡(jiǎn)單零點(diǎn)假設(shè)，但此命題迄今尚未得到證明。不過，與黎曼猜想類似，簡(jiǎn)單零點(diǎn)假設(shè)也得到了許多數(shù)值及解析結(jié)果的支持。Steuding給出過關(guān)于廣義Selberg類L-函數(shù)c值點(diǎn)的漸進(jìn)公式，并將其應(yīng)用到Nevanlinna值分布理論上.此方向引起了許多學(xué)者的興趣，對(duì)此進(jìn)行了深入研究，成功地將兩個(gè)交叉學(xué)科融合在一起。另外，扈和李等人利用Riemann zeta函數(shù)在臨界直線上的零點(diǎn)構(gòu)造了一個(gè)整函數(shù)，并利用此函數(shù)將黎曼猜想轉(zhuǎn)換成亞純函數(shù)問題。

以Nevanlinna值分布理論為主要研究工具，討論廣義Selberg類L-函數(shù)的零點(diǎn)分布問題。研究了 Dirichlet L-函數(shù)的單零點(diǎn)分布問題。借助值分布理論，結(jié)合函數(shù)論中的abc猜想定理，給出關(guān)于模k的一族Dirichlet L-函數(shù)的判別零點(diǎn)估計(jì)式。此外，證明對(duì)任意有窮復(fù)數(shù)a，L-a的單零點(diǎn)在其全部零點(diǎn)中所占的比例是個(gè)正值，至多除掉兩個(gè)例外值，并且給出此比例值的下確界。還有討論廣義Selberg類L-函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)L(k)(s))的零點(diǎn)分布問題等。根據(jù)L(k)(s)左右兩側(cè)的非零區(qū)域，并進(jìn)一步給出L(k)(s)的零點(diǎn)估計(jì)式。研究廣義Selberg類L-函數(shù)與亞純函數(shù)具有分擔(dān)值的問題等。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

宋春霖 - 副教授 - 江南大學(xué)