[科普中國]-C-曲面

類似于研究線束時的C-曲線的概念，線把的C-曲面為點的軌跡，這些點都在線把內(nèi)的半線上，且和線把內(nèi)某一條選定的半線上某一個起點對應，線把內(nèi)的半線都叫作這個C-曲面的軸。三種類型的線把分別為：聚集線把，分散線把和平行線把。聚集線把的C-曲面為與線把的中心有等距離的點的軌跡，這就是球面，它也可以看成一個圓周繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)所成的曲面。分散線把的C-曲面為與一平面等距離的點的軌跡，它和線把的底面重合，這曲面叫作等距曲面或叫作超球面。平行線把的C-曲面叫作渾球面或叫作極限球面，它是極限圓繞著它的軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。

基本介紹線把線把在羅巴切夫斯基空間幾何學里，和線束在羅巴切夫斯基平面幾何學里有同樣的作用。

有三種類型的線把存在：

1．聚集線把，指空間所有經(jīng)過同一點的直線所組成的集合，這點叫作線把的中心。

2．分散線把，指空間所有垂直于同一平面的直線所組成的集合，這平面叫作線把的底面。

3．平行線把，指空間所有和同一半線平行的一切直線所組成的集合，這半線叫作線把的方向半線，顯然可以選取線把內(nèi)任一直線上的半線作為線把的方向半線。

如果一平面經(jīng)過線把的半線，我們便說這平面屬于這線把。

C-曲面的概念線把的C-曲面為點的軌跡，這些點都在線把內(nèi)的半線上，且和線把內(nèi)某一條選定的半線上某一個起點對應，線把內(nèi)的半線都叫作這個C-曲面的軸1。

相關定理定理1 C-曲面上每一點都可以被取作起點。

定理2 C-曲面的每一條軸都是這曲面的旋轉(zhuǎn)軸。

考慮C-曲面的某一條軸AA'，和這曲面的任一點B，點B在軸BB'上，把平面ABA'繞著AA'旋轉(zhuǎn)任意角后，直線BB'轉(zhuǎn)到B1B'1的位置，這時，B1B'1依舊屬于C-曲面的各軸所組成的線把，且點B1仍然是A的對應點，即仍是這曲面上的點。因此，C-曲面上任何點，繞著軸AA'旋轉(zhuǎn)任意角之后，仍然在曲面上，故軸AA'為C-曲面的旋轉(zhuǎn)軸。屬于線把的每個平面，叫作這線把的C-曲面的直徑面，直徑面和C-曲面的交線，叫作這曲面的直徑面截口。

定理****3 C-曲面的一切直徑面截口都是C-曲線，因為截口上一切的點，在這曲面的各軸上互相對應，而這些軸在直徑面截口的平面上組成一個線束。

定理4 直徑面都是C-曲面的對稱平面。

考慮C-曲面上某點A(圖2)，過A作直徑面Q垂直于已給的直徑面P，并設這兩個平面沿著曲面的軸MM’相交。平面Q和曲面相交于C-曲線，且對于軸MM'來說，點A的對稱點A1也在同一C-曲線上，即A1也在曲面上，且關于直徑面P，A1也是點A的對稱點。

我們可說，直徑面截口劃分C-曲面為兩個曲面區(qū)靠著這個截口的兩側(cè)。

定理5 設A，B，C為C-曲面上的三點，不在同一C-曲線上，那么，我們可以轉(zhuǎn)移這C-曲面，使曲面上一切的點，經(jīng)過轉(zhuǎn)移之后仍在曲面上，而且：

1)點A和C-曲面上預先任意給定的點A1疊合。

2)C-曲線弧AB轉(zhuǎn)移到預先任意給定的C-曲線弧A1B1。

3)點C和某點C1疊合，C1是在靠著弧A1B1的一個曲面區(qū)內(nèi)，在所有這些轉(zhuǎn)移的條件下，除了曲面的恒等變換之外，曲面不可能再做進一步的運動。

討論兩軸AA'和A1A'1，的平分線MM'(圖3)，直線MM'也是曲面的軸。繞著這平分線把曲面旋轉(zhuǎn)180°的角，令點A和點A1疊合，經(jīng)過這轉(zhuǎn)動之后，如果弧AB不取弧A1B1的位置，那么，繞著軸A1A'1把曲面再轉(zhuǎn)一次，令AB和已給弧A1B1疊合，此后如果點C不在所給定的曲面區(qū)內(nèi)，則作曲面對于直徑面A1A'1B1的反射映象，把點C帶到所給的曲面區(qū)內(nèi)去。

上述定理的結(jié)果也可以表達如下：C-曲面在其本身上有移轉(zhuǎn)的自由，這個自由的程度，正和平面在其自身上可能轉(zhuǎn)移的程度一樣。

推論 一個C-曲面的所有直徑面截口互相全等，因為移轉(zhuǎn)曲面可以令它們疊合1。

三種線把的C-曲面分別考慮上面所舉三種類型的線把的C-曲面。

聚集線把的C-曲面定理1 聚集線把的C-曲面為與線把的中心有等距離的點的軌跡，這就是球面，它也可以看成一個圓周繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)所成的曲面。

事實上，因為曲面上任意兩個對應點所在的半線相交于線把的中心，那么，它們和線把的中心等距離，曲面的直徑面截口上各點也和線把的中心等距離，故截口為一個圓，把這個圓繞直徑旋轉(zhuǎn)便得已知球面。

分散線把的C-曲面定理2 分散線把的C-曲面為與一平面等距離的點的軌跡，它和線把的底面重合，這曲面叫作等距曲面或叫作超球面。超球面為超圓繞著它的軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。

事實上，因為曲面上任意兩個對應點分別在分散線把的兩條半線上，那么，它們和線把的底面等距離。依同理，曲面的一切直徑面截口為超圓，且互相全等，一個超圓繞著它的軸旋轉(zhuǎn)便得超球面。

平行線把的C-曲面定理3 平行線把的C-曲面叫作渾球面或叫作極限球面，它是極限圓繞著它的軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。

事實上，極限球面的直徑面截口上的一切點，在直徑面上一個平行半線束里的半線上互相對應，故為一個極限圓。這極限圓繞著它的軸旋轉(zhuǎn)便得極限球面。

定理4 一切極限球面全等。

定理5 經(jīng)過極限球面上一點的平面，或者和它相切，或者和它相交于一圓或一極限圓1。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學