[科普中國]-薛定諤繪景

薛定諤繪景（Schr?dinger picture）是量子力學(xué)的一種表述，為紀(jì)念物理學(xué)者埃爾溫·薛定諤而命名。在薛定諤繪景里，量子系統(tǒng)的態(tài)矢量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應(yīng)于可觀察量的算符則與時間無關(guān)。

薛定諤繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景里，對應(yīng)于可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統(tǒng)的態(tài)矢量則與時間無關(guān)。在狄拉克繪景里，態(tài)矢量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結(jié)果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達(dá)同樣的物理現(xiàn)象。

簡介薛定諤繪景（Schr?dinger picture）是量子力學(xué)的一種表述，為紀(jì)念物理學(xué)者埃爾溫·薛定諤而命名。在薛定諤繪景里，量子系統(tǒng)的態(tài)矢量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應(yīng)于可觀察量的算符則與時間無關(guān)。

薛定諤繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景里，對應(yīng)于可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統(tǒng)的態(tài)矢量則與時間無關(guān)。在狄拉克繪景里，態(tài)矢量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結(jié)果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達(dá)同樣的物理現(xiàn)象。

在薛定諤繪景里，負(fù)責(zé)時間演化的算符是一種幺正算符，稱為時間演化算符。假設(shè)時間從 流易到 ，而經(jīng)過這段時間間隔，態(tài)矢量 演化為態(tài)矢量 ，這時間演化過程以方程表示為

其中， 是時間演化算符。

假設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量H不含時，則時間演化算符為

其中， 是約化普朗克常數(shù)，指數(shù)函數(shù) 必須通過其泰勒級數(shù)計算。

在初級量子力學(xué)教科書里，時常會使用薛定諤繪景。1

時間演化算符定義時間演化算符 定義為

其中，右矢 表示時間為t的態(tài)矢量， 是時間演化算符，從時間t演化到時間 。

這方程可以做這樣解釋：將時間演化算符 作用于時間是 的態(tài)矢量 ，則會得到時間是t的態(tài)矢量 。

類似地，也可以用左矢 來定義：

其中，算符 是算符U的厄米共軛。

性質(zhì)幺正性

由于態(tài)矢量必須滿足歸一條件，態(tài)矢量的范數(shù)不能隨時間而變：

可是，

所以，時間演化算符必須是幺正算符。

其中， 是單位算符。

單位性

時間演化算符 必須是單位算符 ，因為，

閉包性

從初始時間 到最后時間t的時間演化算符，可以視為從中途時間到最后時間t的時間演化算符，乘以從初始時間到中途時間的時間演化算符：

根據(jù)時間演化算符的定義，

所以

可是，再根據(jù)定義

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

時間演化算符的微分方程為了方便起見，設(shè)定，初始時間永遠(yuǎn)是0，則可忽略時間演化算符的參數(shù)，改寫為。含時薛定諤方程為

其中，H是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

由于可以是任意恒定態(tài)矢量（處于的態(tài)矢量），時間演化算符必須遵守方程

假若哈密頓量不含時，則這方程的解答為

注意到在時間t=0，時間演化算符必須約化為單位算符U(0)=I。由H是算符，指數(shù)函數(shù)必須通過其泰勒級數(shù)計算：

按照時間演化算符的定義，在時間t，態(tài)矢量為

注意到可以是任意態(tài)矢量。假設(shè)初始態(tài)矢量是哈密頓量的本征態(tài)，而本征值是，則在時間t，態(tài)矢量為

這樣，可以看到哈密頓量的本征態(tài)是定態(tài)，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設(shè)，哈密頓量與時間有關(guān)，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

假設(shè)，哈密頓量與時間有關(guān)，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

其中，T是時間排序算符。

必須用戴森級數(shù)來表示，

參閱哈密頓-亞可比方程

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)