[科普中國]-球面坐標(biāo)變換

球面坐標(biāo)變換是指歐氏空間中一點(diǎn)在球面坐標(biāo)系與標(biāo)準(zhǔn)歐氏坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。

球面坐標(biāo)系定義. 設(shè)是中一點(diǎn)，在球面坐標(biāo)系中的三個坐標(biāo)變量是，其定義為1

徑向距離是從原點(diǎn)到點(diǎn)P的歐幾里得距離。

傾角(或極角) θ是天頂方向和線段OP之間的夾角。

方位(或方位角) φ是從方位參考方向到參照平面上線段OP的正交投影的有符號角度。

見右圖1。

與極坐標(biāo)類似，球面坐標(biāo)系相同的同一點(diǎn)，具有無限多個等效坐標(biāo),，你可以在不改變角度的情況下, 增加或減去任意數(shù)量倍的，從而不改變角點(diǎn)。在許多情況下，允許負(fù)徑向距離也很方便,，該慣例是(?r,θ,φ)等效于(r,θ+ 180 °,φ)為任意r，θ和φ。此外，(r,?θ,φ)等效于(r,θ,φ+ 180 °)。

如果需要為每個點(diǎn)定義一組唯一的球面坐標(biāo), 則必須限制它們的范圍。一個共同的選擇是：

球面坐標(biāo)變換球面坐標(biāo)系是三大常用的坐標(biāo)系之一，其它二個常用的坐標(biāo)系是標(biāo)準(zhǔn)的歐氏坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系。球面坐標(biāo)變換公式描述了空間中一點(diǎn)P在歐氏坐標(biāo)系下的坐標(biāo)與球面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)之間的變換關(guān)系。該變換關(guān)系如下述公式給出1：

或者，將表達(dá)成的形式：

體積元在許多應(yīng)用中，球面坐標(biāo)系具有其它坐標(biāo)系不具有的優(yōu)點(diǎn)。了解在球面坐標(biāo)系的面積元，體積元是對我們有幫助的。

長度元：

其中

面積元：

體積元：

梯度、散度、旋度以及Laplace算子在球面坐標(biāo)系下的由下述公式給出2：

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)