[科普中國]-試位法

試位法是計算作為一個方程的根的未知量的一種方法，是先做出一個或者一些估計，再從這個或者這些估計出發(fā)并根據(jù)未知量的性質(zhì)求出代求的未知量。試位法類似于二分法，也是將含根區(qū)間逐漸縮小，但它并不是單一的二分區(qū)間，而是利用區(qū)間兩個端點的線性插值來求一個近似根。1

背景**試位法（False Position）（in Latin,regula falsi)**試位法是在計算機工具非常落后的條件下人們?yōu)榱烁倪M二分法而得到的一個方法。由于算法原理有其合理性的一面，所以在如今的計算機條件下，在一些特定條件下還可繼續(xù)發(fā)揮作用。

與二分法類似，假設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù)且滿足 。二分法中使用 的重點進行下一次迭代，盡管二分法是極其有效的求根技術(shù)，但是這種強力的算法還是相當(dāng)?shù)托У摹６址ǖ囊粋€缺點是：在等分區(qū)間 的過程中，沒有考慮函數(shù)值 和 的大小。比如，如果 比 更加接近0，那么根很可能更加接近 而不是 。

一個可行的方法，如右圖中表示的，通過一條直線連接 和 。這條直線和x軸的交點表示改進根的估計值。因為在這個根的求解中用直線代替了曲線，所以這個算法稱為“試位法”，或者拉丁文稱為“regula falsi”，該算法也稱為“線性插值方法”。

計算方法根據(jù)相似三角形，直線與x軸的交點估計值如下式：

解得

該公式即為試位公式，的值用該公式計算，作為第一次近似根，將區(qū)間分成和兩個區(qū)間，如果，則根在區(qū)間中，否則根在區(qū)間中，用新得到的根區(qū)間重復(fù)上述步驟，直到近似根滿足一定的要求。2

試位法的缺點與改進可以預(yù)期，如果 在 上的圖像非常接近的一條直線，那么試位法的效果會明顯優(yōu)于二分法。然而實際情況并非總是如此，有時候也會不盡人意。如圖，如果區(qū)間 的長度比較大，曲線 在 內(nèi)拐彎比較大（一階導(dǎo)數(shù)值突然急劇增長），在這種情況下，試位法的效果一下子變得非常糟糕，反而不如二分法。

在右圖所示的情況下，試位法出現(xiàn)了一個端點總是不動的情形，因此近似根只從一端收斂域精確根，我們并不希望這種情況的出現(xiàn)，因為它減慢了收斂速度。尤其當(dāng)初始區(qū)間很大或函數(shù)在區(qū)間內(nèi)偏離線性近似很遠時收斂更慢。為了消除這種情況下的負面影響，可以對試位法做相應(yīng)改進。

在改進的試位法中，如果一個端點重復(fù)兩次或更多次作為新的含根區(qū)間的端點（稱為不動點），則我們將這個點的函數(shù)值乘以一個大于0小于1的常數(shù)因子w，比如可以取w=0.5，其目的是為了是的線性插值的根更接近于精確根。這種改進真正體現(xiàn)了“試位”的思想。3

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尹維龍 - 副教授 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)