[科普中國]-析因試驗

析因試驗是考察某些條件(因子)對目標(biāo)變量影響的試驗或?qū)嶒灐ＴO(shè)X是需通過試驗考察的經(jīng)濟(jì)量或物理量——目標(biāo)變量。在影響X的條件下，有可以控制的因素，還有大量無法控制的隨機因素。所要考察的影響目標(biāo)變量且可以控制的條件，稱做因子或因素；因子的狀態(tài)、等級或數(shù)值，稱做因子水平。析因試驗，把各因子分別控制在若干不同水平上，而使其余可以控制的條件保持不變，并對各種不同的因子水平組合(配方)分別進(jìn)行試驗。只有一個因子的析因試驗，稱做單因子試驗；有兩個或兩個以上因子的試驗，稱做“多因子試驗”?？疾靣個因子每個因子各取m個水平的析因試驗，簡稱為“mr型試驗”；這樣試驗的r個因子的每一種水平組合稱做“一個試驗點”；mr型試驗共有mr個試驗點；將mr個試驗都實施的析因試驗稱做“全面試驗”，否則稱做“部分試驗”。方差分析法是分析多因子析因試驗最重要的統(tǒng)計方法1。

基本介紹析因試驗是一種多因素的交叉分組試驗。它不僅可檢驗每個因素各水平間的差異，而且可檢驗各因素間的交互作用。兩個或多個因素間如存在交互作用，表示各因素不是各自獨立的，而是一個因素的水平有改變時，另一個或幾個因素的效應(yīng)也相應(yīng)有所改變;反之，如不存在交互作用，表示各因素具有獨立性，一個因素的水平有所改變時不影響其他因素的效應(yīng)。下面介紹最簡單的兩因素析因試驗(以“2×2”為例)和較復(fù)雜的四因素析因試驗(以“2×2×3×2”為例)的設(shè)計及其分析方法2。

2×2析因試驗2×2設(shè)計表示有兩個因素，每個因素各有兩個水平，共有四個組合。如以A1表示A因素1水平，A2表示A因素2水平，B1表示B因素1水平，B2表示B因素2水平，各因素的水平之間逐個組合，即成2×2設(shè)計，其模型如下2：

2×2析因分析時，首先應(yīng)對4個組合的試驗結(jié)果作方差齊性檢驗，如已滿足齊性要求，即可進(jìn)行方差分析。方法如下：

(1)作檢驗假設(shè)。有兩種： 一是A因素或B因素的各水平間的比較，H0為A因素或B因素兩水平的總體均數(shù)相等，即μ1=μ2;二是分析A、B兩因素的交互作用，H0為兩因素間無交互作用，即彼此獨立。

(2)將總變異的離均差平方和SS及自由度v按變異來源分為A因素、B因素、交互作用A×B及誤差四部分。SSA和SSB的計算公式見條目“單因素多個樣本均數(shù)比較”。A、B兩因素交互作用的離均差平方和SSA×B的計算需先列副表，再用式(1)及式(2)。

式中SST(AB)為A、B兩因素副表總變異的離均差平方和;XA1B1為A因素1水平與B因素1水平組合的樣本觀察值，余類推;n為分子中每個合計所包含的例數(shù)，C'為校正數(shù)(C'區(qū)別于因素C)。自由度v的計算：總變異v=總例數(shù)-1，某因素v=該因素的水平數(shù)-1，交互作用v=有關(guān)因素的自由度之積，2×2析因分析中v均為1。

(3)分別計算各因素及交互作用的均方MS(=SS/v)，并與誤差的均方相比得F值。

(4)查F界值表得P值，按所取檢驗水準(zhǔn)作出推斷結(jié)論2。

2×2×3×2析因試驗2×2×3×2設(shè)計，表示有四個因素，各因素依次有2、2、3、2個水平，共有2×2×3×2=24個組合。如以ABCD表示四個因素，A1、A2表示A因素的兩個水平，同樣，B1、B2，C1，、C2、C3，D1、D2分別表示B、C、D因素的各個水平，則2×2×3×2設(shè)計的模型如下2：

按此模型安排24個組合的試驗，每個試驗可根據(jù)試驗條件和具體要求規(guī)定重復(fù)次數(shù)，一般所取次數(shù)較少。對試驗結(jié)果應(yīng)先作方差齊性檢驗，然后再作方差分析(參照2×2析因分析加以擴(kuò)展)：

單因素組間比較： A，B，C，D;

一級交互作用： A×B，A×C，A×D，B×C，B×D，C×D;

二級交互作用： A×B×C，A×B×D，A×C×D，B×C×D;

三級交互作用： A×B×C×D。

總共15次檢驗，目的在于得出各因素的最佳水平及其組合。

析因試驗?zāi)軌蚍治龆喾N交互作用，以獲得豐富的結(jié)論，但當(dāng)因素過多，因素中包括的水平又劃分過細(xì)時，將使交互作用的內(nèi)容頭緒繁多，不但計算不便，而且對它們的具體解釋亦十分錯綜復(fù)雜。故除非必須同時對某些因素進(jìn)行研究外，一般宜采用較簡單的析因試驗2。

析因試驗設(shè)計析因試驗設(shè)計是指任意r(r≥1)個因子，每個因子取任意給定數(shù)目mi(i=1，2，…，r)水平的試驗的設(shè)計，分為全面析因試驗設(shè)計和部分實施析因試驗設(shè)計兩大類，其中因子的水平是可以控制的或者隨機選取的。每個因子各取一個水平，r個水平構(gòu)成一個水平組合，總共有n=m1×…×mr個不同的水平組合 (亦稱試驗點或處理方法)。對每一水平組合至少進(jìn)行一次試驗(對一個單元進(jìn)行試驗)的設(shè)計，稱做全面設(shè)計，其優(yōu)點是能考察全部主因子效應(yīng)和全部交互效應(yīng)，其缺點是工作最大甚至無法實施，結(jié)果也難以控制。1946年芬尼(D.J.Finney)提出了部分實驗法，即只挑選一部分有代表性的水平組合進(jìn)行試驗的方法，其實質(zhì)是忽略全部或大部不顯著交互效應(yīng)(如，忽略全部三階及三階以上交互效應(yīng))，正交拉丁方和正交表就是部分實施的重要工具。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所