[科普中國]-康托爾公理

康托爾公理指的是在Zermelo-Fr?nkel集合論中，聲稱任何集合A的冪集（所有子集的集合）的勢嚴(yán)格大于A的勢?？低袪柖ɡ韺τ谟邢藜鲜敲黠@的，但是令人驚奇的是它對于無限集合也成立。特別是，可數(shù)無限集合的冪集是不可數(shù)無限的。要展示康托爾定理的對于無限集合的有效性，只需要測試一下下面證明中無限集合。

證明設(shè)f是從A到A的冪集的任何函數(shù)。必須證明這個f必定不是滿射的。要如此，展示一個A的子集不在f的像中就足夠了。1這個子集是

要證明B不在f的像中，假設(shè)B在f的像中。那么對于某個y∈A，我們有f(y) =B。現(xiàn)在考慮y∈B還是yB。如果y∈B，則y∈f(y)，但是通過B的定義，這蘊(yùn)涵了yB。在另一方面，如果yB，則yf(y)并因此y∈B。任何方式下都是矛盾。

在X是可數(shù)無限時對證明的詳細(xì)解釋要掌握這個證明，讓我們檢查X是可數(shù)無限時的特殊情況。不失去一般性，我們采用自然數(shù)集合，X=N= {1, 2, 3,...}。

假設(shè)N雙射于它的冪集P(N)。讓我們看一個樣例P(N)：

P(N)包含無限的N的子集，比如所有偶數(shù)的集合{2, 4, 6,...}，還有空集。

現(xiàn)在讓我們看一下P(N)的元素的樣子，我們嘗試給每個N的元素配對上每個P(N)的元素來證實(shí)這些無限集合是雙射的。換句話說，我們將嘗試對N的每個元素配對上來無限集合P(N)的元素，使得這兩個集合中沒有元素是未配對的。配對元素的嘗試將是如下樣子的：

某些自然數(shù)被配對上不包含它們的子集。例如，在我們的例子中，數(shù)1被配對上子集{4, 5}。其他自然被配對上包含它們的子集。比如數(shù)2被配對上子集{1, 2, 3}。

使用這個想法，讓我們建造一個自然數(shù)的特殊集合。這個集合將提供我們所求索的矛盾。設(shè)D是被配對上不包含它們的子集的所有自然數(shù)的集合。通過定義，我們的冪集P(N)必定包含這個集合D作為元素。所以，D必定被配對上某個自然數(shù)。但是這導(dǎo)致了一個問題 -- 哪個自然數(shù)和D配對呢?它不能是D的成員，因為D被特殊構(gòu)造為只包含那些不配對上包含它們的子集的自然數(shù)。在另一方面，如果配對于D的自然數(shù)不包含在D中，則再次通過D的定義，它必定包含在D。

這是矛盾因為這個自然數(shù)不能同時在D的內(nèi)部和外部。所以，沒有自然數(shù)可以配對于D，而我們的最初假定在N和P(N)之間有雙射是有矛盾的。

通過這個反證法我們證明了N的勢和P(N)的勢不能相等。我們還知道了P(N)的勢不能小于N的勢，因為根據(jù)定義P(N)包含所有單元素集合，而這些單元素集合形成在P(N)內(nèi)的N的復(fù)制品。所以只剩下一個可能，就是P(N)的勢嚴(yán)格大于N的勢，這就證明了康托爾定理。

歷史康托爾在1891年發(fā)表的論文《über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre》中本質(zhì)上給出了這個證明，實(shí)數(shù)不可數(shù)的對角論證法也首次在這里出現(xiàn)。在這個論文中給出的這個論證的版本使用的是在集合上的指示函數(shù)而不是集合子集。他證明了如果f是定義在X上的函數(shù)，它的值是在X上的二值函數(shù)，則二值函數(shù)G(x) = 1 ?f(x)(x)不在f的值域中。

羅素在《數(shù)學(xué)原理》（1903, section 348）中給出了一個非常類似的證明，在這里他證明了命題函數(shù)要比對象多。“假設(shè)所有對象和所有和它們相關(guān)的命題函數(shù)之間有一種對應(yīng)，并令phi-x為x所對應(yīng)的命題函數(shù)。則'非-phi-x(x)'，也即"phi-x對于x不成立",是一個在這個對應(yīng)中沒有出現(xiàn)的命題函數(shù)；因為它在phi-x假的時候為真，在phi-x真的時候為假，因此它和任何一個x所對應(yīng)的phi-x不同”。他在康托爾之后貢獻(xiàn)了這個想法。

恩斯特·策梅洛在他1908年發(fā)表的成為現(xiàn)代集合論基礎(chǔ)的論文《Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I》中有一個定理（他稱之為康托爾定理）同于上面的論證形式。

康托爾定理的一個推論請參見beth數(shù)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所