[科普中國]-旋量叢

從幾何觀點(diǎn)來看，所有旋量構(gòu)成旋量叢（spinor bundle）。

在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，旋量是與物理自旋理論以及數(shù)學(xué)中克利福德代數(shù)密切相關(guān)的某種幾何實(shí)體，在某種意義上是一種扭曲的張量。

詳解給定一個可微流形M，配有一個符號為 (p,q) 的度量，M上一個旋量叢1是M上向量叢使其纖維是

Spin(p,q)

的一個旋量表示。這里Spin(p,q) 是特殊正交群SO(p,q) 單位分支的二重復(fù)蓋。

旋量叢由向量叢V上繼承一個聯(lián)絡(luò)（參見自旋聯(lián)絡(luò)）。

當(dāng)

p+q≤ 3

時，可能有正交群的其它覆蓋群，從而有其它叢（任意子叢）。

相伴叢相伴叢語言在表達(dá)旋量叢的意義是有用的。自旋結(jié)構(gòu)（spin structure）的存在是實(shí)向量空間上額外的信息。

這里涉及了兩個群SO與Spin（對給定的符號 ），前者有一個忠實(shí)的 維矩陣表示，但后者（一般）只忠實(shí)的作用在更高維的旋量空間。Spin是SO單位分支的二重復(fù)蓋，所以后者是前者的一個商（如果p和q都不是零，則特殊正交群有兩個分支，而自旋群Spin只有一個）。這意味著取值于Spin的轉(zhuǎn)移數(shù)據(jù)自動給出SO的轉(zhuǎn)移數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)到商群失去了一些信息。

從而一個Spin-叢總給出一個相伴以 為纖維的叢，因?yàn)镾pin通過其商SO作用在 上。反過來，對SO叢有一個提升問題：要變成一個Spin叢，在轉(zhuǎn)移數(shù)據(jù)上有一個一致性問題。已經(jīng)知道這個提升的阻礙是第二斯蒂弗爾-惠特尼類（ Stiefel-Whitney class）。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尹維龍 - 副教授 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)