[科普中國]-歐幾里得第五公設(shè)

歐幾里得第五公設(shè)(Euclidean fifth postulate)簡(jiǎn)稱第五公設(shè)，亦稱平行公理，是對(duì)幾何學(xué)的發(fā)展起著重要作用的一個(gè)公設(shè)。在歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》中，第五條公設(shè)是：同一平面內(nèi)的兩條直線與第三條直線相交，若其中一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于二直角，則該兩直線必在這一側(cè)相交。因它與平行公理是等價(jià)的，所以又稱為歐幾里得平行公設(shè)，簡(jiǎn)稱平行公設(shè)。由于第五公設(shè)的內(nèi)容和敘述比前四條公設(shè)復(fù)雜，所以引起后人的不斷研究和探討，在兩千多年間，許多學(xué)者試圖用《幾何原本》中其余公設(shè)和推論證明，然而都沒有成功，但卻從中獲得了一些和第五公設(shè)等價(jià)的命題，后來，到19世紀(jì)，幾位數(shù)學(xué)家否定第五公設(shè)，推導(dǎo)出一些和歐幾里得幾何不同的新命題，從而導(dǎo)致非歐幾里得幾何的產(chǎn)生1。

基本介紹歐幾里得第五公設(shè)(Euclid fifth postulate)是創(chuàng)立非歐幾何的經(jīng)典命題，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》第一卷中列舉了23個(gè)定義、5條公設(shè)、5條公理，由此推證出48個(gè)命題。第五條公設(shè)的全文如下：“若兩條直線被一直線截得的一組同側(cè)內(nèi)角之和小于二直角，則適當(dāng)延長(zhǎng)這兩條直線，必在和小于二直角的一側(cè)相交?！贝斯O(shè)與其他4條公設(shè)、5條公理相比，不但比較復(fù)雜而且也不顯而易見。歐幾里得用第五公設(shè)證明命題也出現(xiàn)的較晚，直到命題29才第一次引用第五公設(shè)，23個(gè)定義中平行直線的定義也排在最后，因此，人們認(rèn)為歐幾里得這樣做，是一時(shí)證明不出第五公設(shè)，不得已而為之，并不認(rèn)為第五公設(shè)是不可證明的2。

對(duì)歐幾里得第五公設(shè)的試證《幾何原本》問世后，試證第五公設(shè)的活動(dòng)也即開始，所謂證明第五公設(shè)，就是用前4個(gè)公設(shè)、5個(gè)公理以及由它們推證出的命題來證明第五公設(shè)。人們陸續(xù)給出各種證明，但都犯了同一種錯(cuò)誤：在論證過程中不知不覺地引進(jìn)了未加證明的新假設(shè)。因此，這種“證明”并沒有減少公理，只不過用第五公設(shè)等價(jià)的新公理代替第五公設(shè)而已。例如，古希臘數(shù)學(xué)家普羅克洛斯(Proclus)的證明中引進(jìn)了新假設(shè)：“兩平行直線間的距離是有限的。”2

1795年，英國數(shù)學(xué)家普萊費(fèi)爾(J.Playfair)在《幾何原理》一書中使用等價(jià)命題：“兩條相交直線不能平行于同一條直線”，后來又發(fā)展成“在平面上，過直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線平行”。這就是目前中學(xué)課本中使用的平行公理，通常稱為普萊費(fèi)爾公理。法國數(shù)學(xué)家克萊羅(A.-C.Clairaut)引進(jìn)的假設(shè)是“若四邊形有3個(gè)角是直角，則第4個(gè)角也是直角”(1741)。意大利數(shù)學(xué)家薩凱里(G.Saccheri)在1733年出版的《免除所有污點(diǎn)的歐幾里得幾何》中，試圖使用反證法證明第五公設(shè)：假定第五公設(shè)或其等價(jià)命題不成立，由此導(dǎo)出矛盾。薩凱里考慮如下的四邊形ABCD：相鄰的∠A與∠B都是直角，且AD=BC.不用第五公設(shè)可證出∠C=∠D.于是有3種可能：

1.∠C和∠D都是直角(直角假設(shè))。

2.∠C和∠D是相等的鈍角(鈍角假設(shè))。

3.∠C和∠D是相等的銳角(銳角假設(shè))。

其中直角假設(shè)與第五公設(shè)等價(jià)。薩凱里假定直角假設(shè)不成立，希望由此導(dǎo)出矛盾，薩凱里很容易否定了鈍角假設(shè)，然后，假設(shè)∠C與∠D是銳角時(shí)，推出了一系列令人難以置信的結(jié)論，例如，他證出：過一直線a外一點(diǎn)M的所有直線可分成兩類，一類與a有公共點(diǎn)，另一類與a沒有公共點(diǎn)，而這兩類直線的分界直線是與a沒有公共點(diǎn)且與a越來越逼近的漸近線，諸如此類的結(jié)論是超出當(dāng)時(shí)人的想象的，雖然一直沒有引出矛盾，但他認(rèn)為這些結(jié)論與人的經(jīng)驗(yàn)不相容，而斷定銳角假設(shè)不成立，于是他認(rèn)為證明了第五公設(shè)，其實(shí)薩凱里在銳角假設(shè)下所推出的結(jié)論表明，在歐幾里得《幾何原本》中，可以用直角假設(shè)代替第五公設(shè)而得出歐幾里得幾何學(xué)，也可以用與第五公設(shè)相矛盾的銳角假設(shè)代替第五公設(shè)而得出與歐氏幾何不同的新幾何學(xué)，薩凱里沒有看出這一點(diǎn)，失去了發(fā)現(xiàn)新幾何學(xué)的機(jī)會(huì)。

德國數(shù)學(xué)家朗伯(J.H.Lambert)考慮有3個(gè)直角的四邊形，對(duì)于第4個(gè)角，從邏輯上可作出直角、鈍角、銳角三種假設(shè)，他看到直角假設(shè)等價(jià)于第五公設(shè)，鈍角假設(shè)雖然與歐氏幾何矛盾，但是導(dǎo)出的結(jié)論卻與球面幾何學(xué)的定理相一致，而從銳角假設(shè)推證出的結(jié)論可用于虛半徑球面上的圖形，他認(rèn)為，只要一種假設(shè)不導(dǎo)致邏輯矛盾，就能提供一種幾何學(xué)。

薩凱里、朗伯等人都因?yàn)樵囎C第五公設(shè)而成為非歐幾何的先驅(qū)者，非歐幾何也在試證第五公設(shè)的過程中逐漸成熟，最終由德國數(shù)學(xué)家高斯(C.F.Gauss)、俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基(Н.И.Лобачевский)、匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約(J.Bolyai)完成2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)