[科普中國]-游移切線法作圖

在幾何作圖中，當所作圖形的某邊(角)需與一已知的弦等長(或已知內(nèi)接角相等)，并又需滿足其它條件時：可以先作出已知弦長的軌跡圓；然后從另一條件出發(fā)，在適當?shù)奈恢孟蜍壽E圓作出切線，來實現(xiàn)作圖的要求。這種作圖方法，稱為游移切線法。

基本介紹游移切線法作圖(constructing by shifting tangent)是作圖方法的一種，如果作圖的關(guān)鍵在于確定某一直線的位置，可暫時放棄這直線所應(yīng)滿足的條件之一，于是這直線可能因位置不定而常切于某曲線，而這曲線實際就是點的軌跡(例如圓)，這樣一來，只要先把這軌跡作出，然后作它的某切線，使它符合所放棄的條件，問題便得以解決，用這種方法作圖稱為游移切線法作圖，一般都是圓或圓弧，而不適宜用于別的曲線。

例如，在已知直線 上求一點M1，使它向已知圓⊙O(r)所引切線長等于已知長a(如圖1)。

設(shè)M1是已知直線 上符合條件的點，M1D1為從點M1向已知圓所引的切線，OD1=r，M1D1=a。問題關(guān)鍵在確定點M1在直線 上的位置，若暫不考慮點M1須在直線 上的條件，只研究點M到圓O所引切線MD須等于已知長a，它便是⊙O(r)的一條游移切線，端點M到⊙O(r)圓心O的距離

其軌跡是已知圓的一個同心圓C，它與直線 的公共點便是所求的點，因此，M1便是圓C與直線 的公共點。

當圓C與直線 相切時，一解；當圓C與直線 相交時，二解；當圓C與直線 相離時，無解1。

例題解析例1以一固定線段為一邊求作平行四邊形，使已知邊的對邊恰好是一定圓的弦。

已知：一定圓O，一固定線段AB。

求作：平行四邊形ABCD，使AB為固定線段，對邊CD為圓O的一弦。

分析: 設(shè)圖已成 (圖2)。 因平行四邊形的對邊平行且相等、 可知AB//CD，CD= AB；又因線段AB固定，故可先作出弦長等于AB的軌跡圓，再作平行于AB的軌跡圓切線，即可確定C、D、二點。

作法：

(1) 在圓O上作弦C'D= AB；作弦長等于C'D'的軌跡圓O(C'D')。

(2) 作OH⊥AB，交圓O(C'D') 于G；過G作AB的平行線，交圓O于C、D二點。

(3)連BC、 AD，平行四邊形ABCD作成。

證明：據(jù)作圖OH⊥AB, CD// AB，知OG⊥CD，則CD為圓O(C'D')的切線，故CD=C'D'= AB。 可見，線段AB與弦CD平行且相等，故知ABCD必為平行四邊形。

討論：設(shè)圓O直徑為d，其解數(shù)有以下三種情況：

(1) 當ABd時，無解2。

例2 求過定點作定圓的內(nèi)接三角形，使內(nèi)接三角形的一邊所在直線過定點，內(nèi)接三角形的邊長比為已知線段比。

已知: 一定圓O、一定點P及三已知線段a、b、c。

求作:內(nèi)接三角形ABC，使一邊所在直線過P點，且BC:AC:AB = a:b:c (圖3)

分析:設(shè)圖已成。

(1)因三角形的邊長比一定，其三個角必為一定。因此可用已知線段a、b、c作出內(nèi)接三角形的相似三角形△A'B'C'，定其三個角， 以便作圖。

(2) 內(nèi)接三角形在確定三個角以后，如何通過P點來作圖呢?這需借助于游移切線法?？勺鲌AO內(nèi)接三角形△DEF，使∠D等于一已知角；再作圓O的一同心圓O(EF)，使與∠D的對邊

弦EF相切?？芍?，在圓O內(nèi)與圓O(EF)相切之弦，必與弦EF相等，其對應(yīng)的內(nèi)接角必等于∠D。因此， 過P點作圓O(EF)的切線，在圓O上可得一已知內(nèi)接角的弓形弧，然后再以切線弦AB為一角邊作圓周角∠B，使等于另一已知角，該角與圓O得交點C，連AC，△ABC即作出。

作法:

(1)以a、b、為三邊，作△A'B'C'。

(2)作圓O內(nèi)接△DEF，使∠D= ∠C'。

(3)作弦EF的軌跡圓O(小)。

(4)過P點作圓O (小)的切線， 交圓O于A、B。

(5)作∠CBA=∠B'，交圓O于C。

(6)連AC，∠ABC即為求作的內(nèi)接三角形。

證明：因弦AB和弦EF同與圓O (小)相切，知弦，AB= EF, 則∠C=∠D=∠C'；據(jù)作圖∠B=∠B’，故知△ABC∽△A'B'C'，則知BC:AC:AB= B'C':A'C':A'B'=a:b:c。△ABC符合作圖要求。

討論:本題因P點落在內(nèi)接三角形的哪一個邊上，并沒有規(guī)定，且P點在內(nèi)接三角形一邊上的位置又有所不同，故解數(shù)可以較多。為了便于討論，設(shè)△ABC (或△A'B'C'的一相似內(nèi)接三角形)三邊的弦心距分別為 。其解數(shù)情況如下:

(1)不符合條件 時，無解；

(2)符合上述條件時，

①當d1>OP、d2>OP、d3>OP，無解;

②當d1>OP、d2>OP、d3=OP，有一解，

③當d1>OP、d2>OP、d3OP、d2=OP、d3OP、d2