[科普中國(guó)]-混合三角方程

混合三角方程(mixed trigonometric equation)是一種三角方程，指未知數(shù)不全含在三角函數(shù)記號(hào)下的方程。例如tan x -3x=0。三角方程可分成兩類：純?nèi)欠匠毯突旌先欠匠?，若未知?shù)只出現(xiàn)在三角函數(shù)符號(hào)下，叫做純?nèi)欠匠蹋?sin2x+3cosx=0。

混合三角方程的解法與舉例混合三角方程只能用圖解法或迭代法來求解，舉例如下。

【例1】方程的解就是方程的曲線和的曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(見圖1)，它們只有一個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)。如果這個(gè)交點(diǎn)附近的圖象用更大的標(biāo)尺來畫，則讀出的精度能夠得到改進(jìn)，這里可得到。

驗(yàn)算: cos 2.209-2.209/2+1.7= -0.5958+0.5955 =-0.0003。

使用近似求解的牛頓(Newton)法可以給出更接近于正確值的近似值:

重復(fù)使用牛頓法可以進(jìn)一步改進(jìn)近似值。

【例2】方程3 tan x-2x=0的圖解法。由函數(shù)y?=tanx，y?=2x/3，能求出解出,隨著x的增加，解越來越接近的奇數(shù)倍，對(duì)每一個(gè)解x0存在一個(gè)數(shù)值相等符號(hào)相反的解一x0;這是因?yàn)閠anx0=-2x0/3也包含了tan(-x0)=2(-x0)/3的緣故(見圖2)1。

解三角方程的基本要求解三角方程與反三角方程的技能指以最簡(jiǎn)三角方程的通解為基礎(chǔ)，利用解代數(shù)方程的知識(shí)：三角式的恒等變形和換元法等，求得三角方程和反三角方程解集的技能2。

解三角方程與反三角方程技能訓(xùn)練的基本要求是：

①熟練掌握最簡(jiǎn)三角方程的通解。

②善于觀察所給方程的特點(diǎn)，熟練把握恰當(dāng)?shù)慕忸}思路。如果一個(gè)三角方程可化為只含有一個(gè)未知數(shù)的同一個(gè)三角函數(shù)的方程，則用換元法轉(zhuǎn)化為解代數(shù)方程，求得這個(gè)三角函數(shù)的值，再解所得最簡(jiǎn)三角方程。如果一個(gè)三角方程可化為兩個(gè)同名函數(shù)相等的形式，則利用相等的充要條件來解。sinf(x)= sing(x)的充要條件為f(x)=nx+(-1)ng(x),cosf(x)= cosg(x)的充要條件為f(x)=2nπ±g(x),tgf(x)= tgg(x)的充要條件為f(x)=nπ+g(x)(以上n為整數(shù))。如果一個(gè)三角方程可化為一邊是零，另一邊可分解因式，則轉(zhuǎn)化為幾個(gè)較簡(jiǎn)單的三角方程來解，但要知道，使某一個(gè)因式為零的值，必須使其它幾個(gè)因式均有意義，否則即為增根，要舍去。

③掌握關(guān)于sinx和cosx的齊次方程求解的一般步驟；先化為只有tgx的方程，用代數(shù)方法求出tgx的值，再求x。如果一個(gè)三角方程中常數(shù)項(xiàng)不為零，而其它項(xiàng)關(guān)于sinx與cosx是齊次的，常可能過1= sin2x+cos2x的代換，把該方程化為齊次方程。

④掌握形如asinx +bcosx=c(a≠0,b≠0)的方程的解法：一般引入輔助角，將原方程變形為， (其中φ是已知數(shù)，由確定)來解。這樣得到的新方程與原方程是同解的。

⑤掌握形如f(sinx,cosx,tgx,ctgx)=0的方程(左端是sinx ,cosx,tgx,ctgx的有理式,某些三角函數(shù)也可以不出現(xiàn))的解法:可以用“萬能代換”來解。即令，于是，原方程化內(nèi)t的有理方程F(t)=0，用代數(shù)法解出t，再得x。需要知道的是，代換后的新方程要求有意義，即x≠(2k+1)π(k為整數(shù))，而原方程中如果ctgx不出現(xiàn)，這些值也有可能是原方程的解。因此，利用萬能代換解三角方程時(shí)，必須檢查(2k+1)π是否是原方程的解，防止失根2。

解三角方程應(yīng)當(dāng)注意的是：

①解三角方程時(shí)，由于方程變形可能破壞同解性，進(jìn)行三角變換可擴(kuò)大或縮小定義域，常會(huì)發(fā)生增根、失根；又會(huì)因解法不同或選用的輔助函數(shù)不同使增根、失根出現(xiàn)不同的情況，因此必須盡可能避免增根、失根，當(dāng)無法避免時(shí),要剔除增根，找回失根。由于三角方程的解集一般是無限集較好的方法是利用方程的周期(把周期函數(shù)f(x)的周期也叫做方程f(x)=0的周期)來驗(yàn)根，只需先求出方程的周期，在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行驗(yàn)根，即可得出一般結(jié)論。凡原方程中有tgx,secx等函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意有沒有增根x=kπ+π/2；有ctgx，cscx等函數(shù)時(shí)應(yīng)注意有沒有增根x=kx。原方程中不含這類函數(shù)，而變形后的方程卻有這類函數(shù)時(shí)，要注意檢查這些值是不是原方程的根，防止失根。

②三角方程的解集一般是無限集，而三角函數(shù)是周期函數(shù)，可解集可用通解公式表示。但常因在解的過程中所用公式不同，或選取的特殊角的代表值不同，而使得同一個(gè)三角方程的通解公式會(huì)有不同的形式。如果已經(jīng)剔除增根，找出失根，那么不同形式的解集應(yīng)相等。檢查這一點(diǎn)，通常可以在三角方程的一個(gè)周期內(nèi)把不同形式的解所表示的角的終邊位置進(jìn)行比較。

對(duì)于僅在反三角函數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的反三角方程，一般將其兩端施以同一個(gè)三角運(yùn)算，得到一個(gè)代數(shù)方程，然后求解。在此解法過程中，往往會(huì)破壞同解性。如反三角方程f(x)=g(x)與方程sinf(x) = sing(x)及方程cosf(x) = cosg(x)都不同解，但都只有增根的可能，不會(huì)失根，而反三角方程f(x)=g(x)與方程tgf(x)=tgg(x)也不同解，既可能有增根，又可能失根。所以應(yīng)根據(jù)方程特點(diǎn)進(jìn)行檢查2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

方正 - 副教授 - 江南大學(xué)