[科普中國]-泊松代數(shù)

數(shù)學(xué)中，泊松代數(shù)（Poisson algebra）是具有一個(gè)滿足萊布尼茲法則的李括號之結(jié)合代數(shù)；即括號也是導(dǎo)子。泊松代數(shù)自然出現(xiàn)于哈密頓力學(xué)，也是量子群研究的中心。攜有一個(gè)泊松代數(shù)的流形也叫做泊松流形，辛流形與泊松-李群是其特列。此代數(shù)的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。

定義一個(gè)泊松代數(shù)是域K上一個(gè)向量空間裝備著兩個(gè)雙線性乘積，與 { , }，滿足如下性質(zhì)：1

（1）乘積構(gòu)成一個(gè)結(jié)合K-代數(shù)；

（2）乘積 { , }，叫做泊松括號，構(gòu)成李代數(shù)，從而反對稱并滿足雅可比恒等式。

（3）泊松括號是結(jié)合乘積 的導(dǎo)子，即對此代數(shù)中任何三個(gè)元素x，y與z，都有。

最后一個(gè)性質(zhì)通常保證了這個(gè)代數(shù)有其他給出表述，可見下面例子中所指出。

例子泊松代數(shù)出現(xiàn)于多種不同場合。

辛流形辛流形上實(shí)值光滑函數(shù)組成一個(gè)泊松代數(shù)。辛流形上每個(gè)實(shí)值函數(shù)H在此流形上產(chǎn)生一個(gè)向量場 ，即哈密頓向量場。然后給定此辛流形上任何光滑函數(shù) F與 G，它們的泊松括號 {,} 定義為

這個(gè)定義是一致的是因?yàn)榇瞬此衫ㄌ柺且粋€(gè)導(dǎo)子。等價(jià)地，可以將 {,} 定義為

這里 [,] 是李導(dǎo)數(shù)。當(dāng)辛流形是帶著標(biāo)準(zhǔn)辛結(jié)構(gòu)的，則泊松括號取如下熟知的形式

可對泊松流形進(jìn)行類似的考慮，它允許辛雙向量在流形的某些位置消沒。

結(jié)合代數(shù)如果A是一個(gè)結(jié)合代數(shù)，則交換子 [x,y]≡xy?yx使它成為一個(gè)泊松代數(shù)。

頂點(diǎn)算子代數(shù)對一個(gè)頂點(diǎn)算子代數(shù)，空間 是一個(gè)泊松代數(shù)，其中而 。對某些定點(diǎn)算子代數(shù)，這個(gè)泊松代數(shù)是有限維的。

相關(guān)條目泊松超代數(shù)（Poisson superalgebra）

格爾斯滕哈伯代數(shù)

Moyal bracket

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)