[科普中國]-黑林格－特普利茨定理

黑林格-特普利茨定理是數(shù)學(xué)泛函分析的定理，以德國數(shù)學(xué)家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。1

敘述設(shè) 為希爾伯特空間， 是處處定義的對稱線性算子，即對任意 都有等式

。

那么， 有界（因此也是連續(xù)）。

證明從閉圖像定理可知，只需證明：如果序列 趨于0， ，那么 。因?yàn)閮?nèi)積在 上連續(xù)，故得

=0

所以y=0.

推論1、任何對稱且在 上處處定義的算子是自伴算子。

2、無界自伴算子最多只能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。

物理結(jié)果這定理帶出了量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一些技術(shù)難題。量子力學(xué)中的可觀察量對應(yīng)到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是，即上平方可積函數(shù)空間，能量算符定義為（設(shè)其單位選取使得）

這算符是自伴無界的（其特征值為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個上定義。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)