[科普中國(guó)]-數(shù)乘變換

數(shù)乘變換(transformation of scalar multiplicalion)是一種線性變換，設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)線性空間，k是P中的一個(gè)數(shù)，對(duì)任意α∈V，由σ(α)=kα所決定的線性變換σ，稱為數(shù)乘變換，記為k*，這樣1*就是單位變換，0*就是零變換。

基本介紹線性變換的概念設(shè)V為數(shù)域F上的線性空間，是V到V的一個(gè)映射（變換），且滿足條件：

（1）對(duì)任意的α，β∈V有：

(α+β)=(α)+(β)；

（2）對(duì)任意的α∈V及任意的實(shí)數(shù)k∈F，有：

(kα)=k(α)，

則稱為V的線性變換。

設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間。定義變換為

(α)=α，α∈V，

稱為恒等變換或單位變換；定義變換為

(α)=0，α∈V，

稱為零變換，它們都是線性變換1。

數(shù)乘變換的概念設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，k∈F，定義變換 為

(α)= kα，α∈V，

稱為數(shù)乘變換，數(shù)乘變換是線性變換，故線性變換的性質(zhì)也是數(shù)乘變換的性質(zhì)，參見(jiàn)線性變換。顯然當(dāng)k=1數(shù)乘變換即為恒等變換，k=0數(shù)乘變換即為零變換1。

相關(guān)性質(zhì)(1)設(shè)是V的一個(gè)線性變換，則：

(0)=0， (-α)=-α。

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/IbdhBvZB8gYNlcT8XLBULVo2JXHV9xPo14iK.jpg" alt="" />(0)=(0·α)=0(α)=0，

(-α)=((-1)α)=(-1)(α)=-(α)。

(2)線性變換保持向量的線性組合和線性關(guān)系式不變，即

若β是α?，α?，…，αs的線性組合：

β=k?α?+k?α?+…+ksαs，

則有(β)=k?(α?)+k?(α?)+…+ks(αs)，

(β)仍然是(α?)，(α?)，…，(αs)的線性組合，且表出系數(shù)相同。

同樣若對(duì)于α?，α?，…，αs，有：

k?α?+k?α?+…+ksαs=0，

則有：

k?(α?)+k?(α?)+…+ks(αs)=0。

(3)線性變換把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組。

注 線性變換可能把線性無(wú)關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組，譬如零變換1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)