[科普中國(guó)]-卡萊曼不等式

卡萊曼不等式(Carleman inequality)是關(guān)于項(xiàng)為乘積冪的級(jí)數(shù)的估計(jì)式及其推廣，這個(gè)不等式由卡萊曼(T.Carleman)于1923年發(fā)表1。

基本介紹卡萊曼(Carleman)不等式 (1)如果是任意非負(fù)數(shù)列，那么

(2)若是任意正數(shù)列，而且級(jí)數(shù)收斂，則上式是嚴(yán)格不等式，即

并且右邊的常數(shù)e不能用更小的正數(shù)代替2。

此不等式是T.Carleman于1923年得到的。

卡萊曼不等式的證明Carleman不等式：設(shè)為正數(shù)，記的幾何平均值為Gi(i=1，2，…，，n)，則3

證明

事實(shí)上，若在哈代-蘭道不等式(Hardy-Landau不等式)中用代替，則得

令，則因

所以立刻得到不等式(1)3。

另外，不等式(1)也可用Redheffer不等式得到：

令，這里，則

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/tLHiosakRNbayOJwnYyf39bZ3qPOX1IwYscx.jpg" alt="" />，所以可得出不等式(1)3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)