[科普中國]-希爾伯特－波利亞猜想

希爾伯特－波利亞猜想（英語：Hilbert–Pólya conjecture）是一個(gè)將譜論與黎曼猜想相聯(lián)系的數(shù)學(xué)猜想。

猜想的最早由來在一封由喬治·波利亞于1982年1月3日寫給安德魯·奧德里茲科（Andrew Odlyzko）的信中，波利亞提到他于1912年至1914年間在哥廷根時(shí)，愛德蒙·蘭道曾詢問過他是否有使得黎曼猜想成立的物理原因。當(dāng)時(shí)波利亞提出，黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)

的虛部t可能對(duì)應(yīng)某一無界自伴算符的特征值。

而這一猜想最早的文字記錄則由休·蒙哥馬利（Hugh Montgomery）于1973年作出。

1950年代與塞爾伯格跡公式當(dāng)波利亞與蘭道討論這一問題時(shí)，還沒有什么證據(jù)能夠支持這一猜想。

而到1950年代初，阿特勒·塞爾伯格證明了黎曼曲面長度譜與其拉普拉斯算符特征值的對(duì)偶，被稱為塞爾伯格跡公式。

這一公式與明確公式（explicit formula）之間明顯的相似性增加了希爾伯特和波利亞猜想的可信度。

1970年代與隨機(jī)矩陣1970年代初，蒙哥馬利發(fā)現(xiàn)了臨界線上非平凡零點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分布的規(guī)律，被稱為蒙哥馬利對(duì)關(guān)聯(lián)假設(shè)（Montgomery's pair correlation conjecture）。他發(fā)現(xiàn)非平凡零點(diǎn)之間并不靠近，而是有互相排斥的趨勢(shì)。1972年，在他訪問普林斯頓高等研究院時(shí)，他將其成果告訴了隨機(jī)矩陣專家弗里曼·戴森。

戴森發(fā)現(xiàn)蒙哥馬利得到的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律與隨機(jī)厄米矩陣的對(duì)關(guān)聯(lián)分布一致。這種分布在物理中很重要，哈密頓算符特征態(tài)（如原子核的能級(jí)）滿足此統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

之后的工作證實(shí)了黎曼ζ函數(shù)非平凡零點(diǎn)分布與高斯幺正系綜（Gaussian unitary ensemble）的隨機(jī)厄米矩陣特征值之間的關(guān)聯(lián)性，它們都服從同樣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

自此，希爾伯特與波利亞的猜想就有了更為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，盡管尚未由此證明黎曼猜想。

現(xiàn)今,作為此方法的發(fā)展，阿蘭·科納提出了一個(gè)與廣義黎曼猜想等價(jià)的跡公式。該公式與塞爾伯格跡公式之間有著相似性。

與量子力學(xué)的可能聯(lián)系波利亞最早提出了可能與量子力學(xué)有關(guān)的希爾伯特－波利亞算符。該算符可表示為，其中H是質(zhì)量為 m、勢(shì)能為 V(x)的粒子的哈密頓算符。

黎曼的猜想等價(jià)于哈密頓算符為厄米算符，或者說 V是實(shí)的。

根據(jù)一階修正的微擾理論，第n特征態(tài)的能量與勢(shì)能期望值有關(guān)：

其中，分別為自由粒子哈密頓算符的特征值與特征態(tài)。

此方程可以看作第一類弗雷德霍姆積分方程。這樣的積分方程可使用預(yù)解核的方法求解，因而能夠得到勢(shì)能的表達(dá)式

其中，R(x,k)為預(yù)解核，A為一實(shí)常數(shù)，而

其中，為狄拉克δ函數(shù)，則為黎曼猜想的非平凡零點(diǎn)。

邁克爾·貝里與喬·基廷（Jon Keating）推測(cè) H實(shí)際是經(jīng)典哈密頓量xp的某種量子化，與 xp相應(yīng)的最簡單的厄米算符為

這一對(duì)希爾伯特－波利亞猜想的改進(jìn)被稱為貝里猜想（Berry conjecture）或貝里－基廷猜想（Berry-Keating conjecture）。

然而如今對(duì)這一猜想的了解仍不多。貝里與謝拉（Germán Sierra）猜測(cè)，既然此算符在膨脹（dilation）下不變，那么對(duì)整數(shù) n成立的邊界條件或許可以有助于得到對(duì)大數(shù) n下成立的漸近結(jié)果。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)