[科普中國]-n維歐幾里得空間

n維歐幾里得空間(n-dimensional Euclidean space)是現(xiàn)實空間的抽象與推廣，簡稱n維歐氏空間。n維歐氏空間在代數(shù)中是定義了內(nèi)積的n維線性空間，記為Rn，其元素是n維向量，即n元有序(實)數(shù)值，并利用內(nèi)積規(guī)定向量x的模|x|是其與自身的內(nèi)積的平方根|x|=∑ni=1x2i。在幾何中，借用普通空間中點坐標與其向徑作為以原點為起點的向量的坐標相同之例，也把n維歐氏空間的向量看做點而把n維歐氏空間Rn看做點空間，因而也可討論Rn中的幾何圖形，如直線、超平面等。在數(shù)學分析中，經(jīng)常借用代數(shù)和幾何中n維歐氏空間的概念，特別是常使用Rn的向量(元素)x的模|x|的另一名稱范數(shù)的概念。在提到x∈Rn時常只說x是n元數(shù)組而不一定提到它是n維歐氏空間的元素，因而還常把x的模，即范數(shù)|x|特別稱為x的歐幾里得范數(shù)1。

基本介紹在解析幾何和數(shù)學分析中，我們對一維歐幾里得空間R1(即R，實直線)，二維歐幾里得空間R2(即實平面)和三維歐幾里得空間R3(即現(xiàn)實的三維立體空間)有了比較深入的了解。現(xiàn)在，我們討論n維歐幾里得空間。

定義1 設(shè)n是正整數(shù)，由n個實數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組的全體組成的集合，稱為n維點集或n維歐幾里得空間，記作R?，即2

相關(guān)概念及性質(zhì)為了深入研究行維點集R?中鄰域、有界集、點列收斂等概念，需要對R?中的點之間定義距離。為了使問題討論適用于更廣泛的情形，我們對一般的集合給出距離的概念2。

定義2 設(shè)X是一個非空集合，如果對于X中任何兩個元素x和y，都有一個確定的實數(shù)，記為ρ(x，y)，與之對應，且滿足下面三個條件，則稱ρ是X上的一個距離，稱ρ(x，y)是x和y之間的距離，而稱X是以ρ為距離的距離空間(或度量空間)，記為(X，ρ)。這三個條件是：

(1)非負性，ρ(x，y)≥0，而且ρ(x，y)=0當且僅當x=y；

(2)對稱性，ρ(x，y)=ρ(y，z)；

(3)三角不等式，ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(z，y)，這里z也是X中的任意一個元素。

對于R?中的任意兩點定義實函數(shù)，則ρ(x，y)滿足距離的三個條件(1)，(2)，(3)，稱ρ為R?上的歐幾里得距離，稱(R?，ρ)為n維歐幾里得空間。

定義3 設(shè)P0∈R?是一固定點，δ>0為一實數(shù)，則集合{P|ρ(P，P0)K時，Pk∈U(P0)．

用“ε一N”語言來說，就是：對任意的ε>0，存在K∈N+，使當k>K時，ρ(Pk，P0)