[科普中國(guó)]-離散偶極近似

離散偶極近似（Discrete Dipole Approximation DDA）是一種用來(lái)求解物體散射電磁波的計(jì)算方法。它使用大量偶極子組成的陣列來(lái)模仿連續(xù)的物體，通過(guò)求解這些偶極子在入射電磁波照射下的極化度來(lái)獲得物體吸收、散射電磁波的性質(zhì)。

離散偶極近似（Discrete Dipole Approximation DDA）是一種用來(lái)求解物體散射電磁波的計(jì)算方法。它使用大量偶極子組成的陣列來(lái)模仿連續(xù)的物體，通過(guò)求解偶極子在入射電磁波照射下的極化度來(lái)獲得物體吸收、散射電磁波的性質(zhì)。1

基本概念在電動(dòng)力學(xué)的框架內(nèi)，求解物體對(duì)電磁波的吸收、散射情況，實(shí)質(zhì)上是計(jì)算物體內(nèi)部和周圍空間的電磁場(chǎng)分布。理論上，有介質(zhì)存在情況下的電磁場(chǎng)分布可以通過(guò)求解麥克斯韋方程組獲得。然而，由于麥克斯韋方程組的復(fù)雜性，它只能在具有獨(dú)特對(duì)稱性的體系中求得解析解。那么，對(duì)于一般形狀的物體，通常采用數(shù)值方法近似求解其周圍電磁場(chǎng)分布。離散偶極近似就是這樣一種方法，它假設(shè)物體的電磁波散射特性是由其電子對(duì)于入射電磁波的反饋?zhàn)饔眯纬伞娮釉陔姶挪ǖ淖饔孟掳l(fā)生受迫振動(dòng)，而與其正電荷中心分離形成振蕩電偶極，它們?cè)谡駝?dòng)時(shí)能夠輻射電磁波并作用于其它電偶極。進(jìn)一步，設(shè)想物體是由大量的電偶極組成，則由電動(dòng)力學(xué)理論可以建立起描述所有偶極子相互影響的線性方程組，求解該方程組獲得偶極電磁場(chǎng)。最后，把所有偶極的電場(chǎng)作用疊加后就獲得了整個(gè)物體內(nèi)部以及周圍空間的電磁場(chǎng)。

發(fā)展歷程1964年，Howard DeVoe在其論文中建立了DDA方法的基本框架。DeVoe發(fā)展出一種經(jīng)典物理模型，該模型可以由單體（比如分子）的光學(xué)性質(zhì)出發(fā)求解出聚集體（比如分子晶體）的光學(xué)性質(zhì)。DeVoe認(rèn)為，如果求出聚集體的總偶極矩，就可以導(dǎo)出其折射率和消光系數(shù)等性質(zhì)。為此，需要將所有的分子偶極矩疊加從而獲得總偶極矩。然而，分子偶極矩是由入射電磁波誘導(dǎo)產(chǎn)生，同時(shí)這些分子偶極還會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，進(jìn)一步影響其它分子偶極。那么，分子偶極矩中就包含了入射電場(chǎng)和其它偶極電場(chǎng)兩部分，由此可以建立起包含所有偶極矩的線性方程組加以求解。DeVoe奠定了由偶極間相互作用求解物體光學(xué)性質(zhì)的方法。但是，該論文中描述偶極間電場(chǎng)作用時(shí)使用的是電偶極的靜電場(chǎng)表達(dá)式，而非振蕩偶極子的電場(chǎng)。

1973年，Purcell在其論文中確立了DDA方法的基本原理并計(jì)算了任意形狀顆粒的光散射特性。 他是在關(guān)于星際塵埃散射星光的研究中發(fā)展出這一方法的，因而并未引用DeVoe的研究成果。然而，相比較DeVoe旨在建立一種經(jīng)典物理的模型來(lái)描述單體與聚集體光學(xué)性質(zhì)之間的關(guān)系，Purcell則明確了DDA方法的一些基本概念，以及它用于計(jì)算顆粒光散射的用途。他首先提出使用3維的偶極子陣列模擬顆粒的散射行為，并且采用振蕩偶極子的電磁波公式描述偶極子電場(chǎng)的影響，相比與DeVoe更為準(zhǔn)確。其次，Purcell通過(guò)Clausius-Mossotti關(guān)系式確定了偶極陣列中偶極子極化率(polarizability){\displaystyle \alpha }與顆粒材料的介電常數(shù){\displaystyle \epsilon }的關(guān)系（DeVoe使用分子消光系數(shù)導(dǎo)出分子偶極極化率）。由此求出極化率就解決了DDA方法中的基本問(wèn)題：偶極矩與局部電場(chǎng)之間的數(shù)值關(guān)系。這樣就能夠構(gòu)建描述偶極矩之間關(guān)系的線性方程組{\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{i}=\alpha {\boldsymbol {E}}_{i}}。最后，他設(shè)計(jì)了一個(gè)遞推關(guān)系求解該方程組，并且根據(jù)電動(dòng)力學(xué)原理求出顆粒的吸收系數(shù)和消光系數(shù)。

下面主要以Draine編寫(xiě)的軟件DDSCAT為例，結(jié)合他的研究工作，介紹DDA方法的發(fā)展過(guò)程。

1988年，Draine在其論文中對(duì)DDA方法做出了幾項(xiàng)重要改進(jìn)（使用Fortran語(yǔ)言編寫(xiě)了計(jì)算程序，成為后來(lái)的DDSCAT）。首先，Draine認(rèn)為Clausius-Mossotti關(guān)系式描述的是靜電場(chǎng)環(huán)境下極化度與介電常數(shù)的關(guān)系，并不完全適用于電磁波條件。因此，他引入radiation reaction對(duì)其進(jìn)行了修正。其次，通過(guò)分析計(jì)算結(jié)果關(guān)于偶極子陣列粒度的變化情況，他提出了DDA方法的誤差表達(dá)式，確定了偶極子數(shù)量N的取值標(biāo)準(zhǔn)。最后，Draine采用復(fù)數(shù)共軛梯度算法迭代求解偶極矩方程組，獲得更好的收斂性。

1991年，Goodman等人在論文中指出，當(dāng)偶極子陣列具有空間周期性時(shí)，復(fù)數(shù)共軛梯度算法中的矩陣乘法實(shí)質(zhì)上是卷積運(yùn)算，因此可以使用快速傅立葉變換(Fast-Fourier Transform FFT)技術(shù)對(duì)其加速，節(jié)省運(yùn)算時(shí)間。作者在其DDSCAT軟件中加入了這一功能并對(duì)其時(shí)間復(fù)雜性進(jìn)行了研究。

1993年，Draine與Goodman指出使用Lattice Dispersion Relation (LDR)關(guān)系描述偶極子極化度能夠使DDA方法的解與mie散射的結(jié)果更為接近，因而取代了Clausius-Mossotti plus radiative reaction (CMRR)。

2008年，Draine與Flatau對(duì)DDA方法進(jìn)行了改進(jìn)，使其可以計(jì)算二維周期性結(jié)構(gòu)或者一維無(wú)限長(zhǎng)物體的散射，擴(kuò)展了DDA方法的應(yīng)用范圍。

此外，Yurkin和Maltsev在其文章中分析了DDA方法的誤差與偶極間距d的關(guān)系。作者從電磁場(chǎng)散射理論出發(fā)，推導(dǎo)出偶極離散化誤差的表達(dá)式，同時(shí)分析了正方體偶極陣列和實(shí)際散射體形狀差別造成的誤差。

2007年，Penttila等人發(fā)表文章，從計(jì)算速度、內(nèi)存消耗等方面比較了SIRRI、DDSCAT、ADDA、ZDD這4種DDA軟件各自的優(yōu)劣。

2007年，Yurkin和Hoekstra發(fā)表綜述，對(duì)DDA方法進(jìn)行了較為全面的總結(jié)，涵蓋了基本原理，計(jì)算方法，求解技術(shù)的諸多方面的研究成果和發(fā)展。

理論推導(dǎo)實(shí)質(zhì)上，DDA方法是電磁散射公式積分形式的離散化表達(dá)2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

程鵬 - 副教授 - 西南大學(xué)