[科普中國(guó)]-扭曲幾何

數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，特別是在微分幾何與廣義相對(duì)論中，扭曲幾何（warped geometry）是度規(guī)張量。

簡(jiǎn)介扭曲幾何寫成如下形式的黎曼流形或洛倫茲流形：

注意到幾何可以分解成y幾何與x幾何的卡氏積（Cartesian product），不過x部分受到扭曲，亦即它的大小尺度受到了一個(gè)y坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù){\displaystyle f(y)}的調(diào)整?；诖死碛?，扭曲幾何的度規(guī)常稱為“扭曲積度規(guī)”（warped product metric）。

扭曲幾何很有用處，以其可以運(yùn)用分離變數(shù)法來解與它們有關(guān)的偏微分方程。1

例子許多愛因斯坦場(chǎng)方程的基本解是為扭曲幾何，比如史瓦西解以及羅伯遜-沃爾克模型。

此外，扭曲幾何是弦論中藍(lán)道爾-桑壯模型（Randall-Sundrum models）的基石。

相關(guān)內(nèi)容度量張量在黎曼幾何里面，度量張量（英語(yǔ)：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理學(xué)譯為度規(guī)張量，是指一用來衡量度量空間中距離，面積及角度的二階張量。

當(dāng)選定一個(gè)局部坐標(biāo)系統(tǒng)，度量張量為二階張量一般表示為，也可以用矩陣表示，記作為G或g。而 記號(hào)傳統(tǒng)地表示度量張量的協(xié)變分量（亦為“矩陣元素”）。2

到 的弧線長(zhǎng)度定義如下，其中參數(shù)定為t，t由a到b:

兩個(gè)切矢量的夾角 ,設(shè)矢量 和，定義為：

若 為 到 的局部微分同胚，其誘導(dǎo)出的度量張量的矩陣形式 ，由以下方程計(jì)算得出：

j表示 的雅可比矩陣，它的轉(zhuǎn)置為 。著名例子有 之間從極坐標(biāo) 到直角坐標(biāo) 的坐標(biāo)變換，在這例子里有：

這映射的雅可比矩陣為

所以

這跟微積分里極坐標(biāo)的黎曼度量, ，一致。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)