[科普中國]-威沙特分布

以統(tǒng)計學(xué)家約翰·威沙特為名的威沙特分布是統(tǒng)計學(xué)上的一種半正定矩陣隨機(jī)分布。這個分布在多變量分析的共變異矩陣估計上相當(dāng)重要。

定義假設(shè)X為一n×p矩陣，其各行（row）來自同一均值向量為 的 維多變量正態(tài)分布且彼此獨立。

則威沙特分布為 散異矩陣

的機(jī)率分布。

有該機(jī)率分布通常記

其中正整數(shù) 為自由度。有時亦記號為 。若 且 則該分布退化為一自由度為 的單變量卡方分布。

常見應(yīng)用威沙特分布常用于多變量的概似比檢定，亦用于隨機(jī)矩陣的頻譜理論中。

機(jī)率密度函數(shù)威沙特分布具有下述的機(jī)率密度函數(shù)：

令' 為一 正定對稱隨機(jī)變數(shù)矩陣。令 為一特定正定 矩陣。

如此，若 ，則 服從于一具自由度n的威沙特分布且有機(jī)率度函數(shù)

其中 為多變量Gamma分布，其定義為

上述定義可推廣至任一實數(shù)

特征函數(shù)威沙特分布的特征函數(shù)為

也就是說

其中 為期望值

（這里的 及 皆為與 維度相同的矩陣。 為單位矩陣，而i為－1的平方根）

理論架構(gòu)若 為一自由度為m，共變異矩陣為 的威沙特分布，記為— —其中 為一 的q秩矩陣，則

推論1若 為一非負(fù) 常數(shù)向量，則

則在此情形下， 為一卡方分布且 （因 為正定，所以 為一正常數(shù)）。

推論2在 的情形下（亦即第j個元素為1其他為0），推論1可導(dǎo)出

為矩陣的每一個對對角元素的邊際分布。

統(tǒng)計學(xué)家George Seber曾論證威沙特分布并非多變量卡方分布，這是因為非對角元素的邊際分布并非卡方分布，Seber傾向于將某某多變量分布此一遣詞用于所有元素的邊際分布皆相同的情形1。

多變量正態(tài)分布的估計由于威沙特分布可視為一多變量正態(tài)分布其共變異矩陣的最大概似估計量（MLE）的的分布，其衍自MLE的計算可為令人驚喜地簡約而優(yōu)雅。基于頻譜理論，可將一標(biāo)量視為一 矩陣的跡（trace）。請參考共變異矩陣的估計。

分布抽樣以下的算法取材自 Smith & Hocking (1972)2。一個來自自由度為n及共變異矩陣為 的威沙特分布的 （其中 ）隨機(jī)樣本可以如下方式抽樣而得：

生成一隨機(jī) 下三角矩陣 使得：

，意即 為一 卡方分布隨機(jī)樣本的平方根。

其中 ，為一 正態(tài)分布的隨機(jī)樣本。

計算 的Cholesky分解。

計算 。此時， 為一 的隨機(jī)樣本。

若 ，則因 ，可以直接以 進(jìn)行抽樣。

參考條目共變異矩陣的估計

Hotelling的T平方分布

逆威沙特分布

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李嘉騫 - 博士 - 同濟(jì)大學(xué)