[科普中國(guó)]-阿爾澤拉－阿斯科利定理

在數(shù)學(xué)中，阿爾澤拉－阿斯科利定理是泛函分析中的一個(gè)定理，給出了一個(gè)從緊致度量空間射到度量空間的函數(shù)集合是否在關(guān)于一致收斂的拓?fù)湟饬x上是緊集的充分必要條件。其中主要涉及的條件是函數(shù)集的等度連續(xù)性質(zhì)。

簡(jiǎn)介等度連續(xù)的概念大約是在十九世紀(jì)的八十年代由兩位意大利數(shù)學(xué)家阿斯科利（1883年－1884年）和阿爾澤拉（1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的論文中證明了定理中關(guān)于連續(xù)函數(shù)集成為緊集的充分條件的部分，而阿爾澤拉則在1895年的另一篇論文中證明了定理的另一部分：成為緊集的必要條件，并首次給出了定理的完整證明。而不久之后，在1906年，法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇又將這個(gè)定理進(jìn)行了推廣，使得在任意的能夠定義極限的空間中都有同樣的結(jié)果（比如度量空間或豪斯多夫空間）。

在阿爾澤拉-阿斯卡利定理被首次證明的年代，人們并沒有充分理解該定理的重要意義。隨著研究的不斷深入，緊致性成為了分析學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的關(guān)鍵概念，而此定理就描述了緊致性。該定理是利用歐拉法證明常微分方程組理論中的皮亞諾存在性定理時(shí)不可或缺的一環(huán)，也是復(fù)分析中的蒙泰爾定理的證明中的重要組成部分。此外，彼得-外爾定理的一個(gè)證明中用到了此定理。

預(yù)備概念以下是在定理的敘述和證明中將會(huì)用到的概念：

設(shè)K、X為兩個(gè)度量空間。為從 射到 的連續(xù)映射的集合。此集合的一個(gè)子集被稱為等度連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x∈K和任意ε>0，存在x的鄰域使得對(duì)所有的 以及 ，都有：

集合 被稱為逐點(diǎn)有界，如果對(duì)所有的，都有：

。

作為對(duì)比，一個(gè)集合 被稱作一致有界，如果其中所有的函數(shù)的一致范數(shù)（絕對(duì)值的上確界）都小于某一個(gè)常數(shù)。

敘述實(shí)數(shù)域上的情況最簡(jiǎn)單的情況是在實(shí)數(shù)域上，這時(shí)的阿爾澤拉-阿斯科利定理的形式為：

考慮一個(gè)定義在實(shí)數(shù)軸中的有界閉區(qū)間 [a,b] 上的實(shí)數(shù)值函數(shù)序列 (fn)n∈N。如果這個(gè)序列是一致有界并且等度連續(xù)的，那么必定這個(gè)函數(shù)序列中存在一個(gè)子序列 (fnk) 是一致收斂的。

例子

設(shè) (fn)n∈N是一個(gè)一致有界、可導(dǎo)，并且導(dǎo)數(shù)也是一致有界的函數(shù)序列，那么 (fn)n∈N這個(gè)序列滿足阿爾澤拉-阿斯科利定理的條件，因?yàn)榭梢宰C明它也是等度連續(xù)的。因此，這個(gè)函數(shù)列擁有一個(gè)一致收斂的子序列。

緊度量空間和緊豪斯多夫空間對(duì)于一般的度量空間，阿爾澤拉-阿斯科利定理定義如下：

設(shè) 為一個(gè)緊度量空間， 為一個(gè)完備的度量空間，那么 的子集 在緊致開拓?fù)渲惺蔷o致的當(dāng)且僅當(dāng)它是等度連續(xù)、完全有界的閉集。

這里， 表示從 射到的連續(xù)函數(shù)的集合。而它的子集 被稱作完全有界當(dāng)且僅當(dāng)，集合 都是 中相對(duì)緊致的子集。如果一個(gè)集合在緊致開拓?fù)渲惺蔷o致的，那么它之中的所有序列都擁有一個(gè)一致收斂到其中的子序列。

更廣泛地，對(duì)于X是緊豪斯多夫空間的情況，定理一樣成立：

設(shè) 為一個(gè)緊豪斯多夫空間，那么 的子集 在緊致開拓?fù)渲惺蔷o致的當(dāng)且僅當(dāng)它是等度連續(xù)、完全有界的閉集。

阿爾澤拉-阿斯科利定理是對(duì)于緊豪斯多夫空間上的連續(xù)函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)的研究中的一個(gè)重要結(jié)果。進(jìn)一步的研究可以將上面的結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的推廣。比如說，函數(shù)的取值空間可以變?yōu)楹浪苟喾虻耐負(fù)湎蛄靠臻g，這時(shí)仍然有基本相同的定理。

證明必要性該定理的必要性比較顯然，實(shí)用價(jià)值也比較小。事實(shí)上，由緊度量空間X到完備的度量空間Y的任何一列連續(xù)映射序列{fn}如果在X上一致收斂，那么它收斂到一個(gè)連續(xù)映射f。由緊度量空間上連續(xù)映射f的一致連續(xù)性和收斂的一致性可以證明，該映射序列是等度連續(xù)的。同時(shí)由收斂的一致性和連續(xù)映射將緊集映為緊集的性質(zhì)可以推出該序列完全有界。

若集合F中的映射不一致有界，則由定義，對(duì)任意n∈N，存在F中的映射fn，使得其范數(shù)大于n。{fn}的任意一個(gè)子列都不是完全有界的，故任意子列都非一致收斂，與假設(shè)矛盾。若集合F中的映射不等度連續(xù)，則存在ε>0，對(duì)任意的n∈N，存在x1、x2和某個(gè)集合中某個(gè)映射fn，滿足d(x1,x2)0，存在δ，使得對(duì)任意x,y屬于F，任意gn，只要d(x,y)Ni都有d(gm(ξi),gn(ξi))N，都有d(gm(ξk),gn(ξk))