[科普中國(guó)]-勒讓德變換

勒讓德變換（英語(yǔ)：Legendre transformation）是一個(gè)在數(shù)學(xué)和物理中常見(jiàn)的技巧，得名于阿德里安-馬里·勒壤得（Arien-Marie Legendre）。該操作是一個(gè)實(shí)變量的實(shí)值凸函數(shù)的對(duì)合變換。 它經(jīng)常用于經(jīng)典力學(xué)中，從拉格朗日形式導(dǎo)出哈密頓形式；以及在熱力學(xué)中，推導(dǎo)出熱力學(xué)勢(shì)，并求解多個(gè)變量的微分方程。

概述為了研究一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，表述此系統(tǒng)的函數(shù)關(guān)系 改用一個(gè)新函數(shù) 來(lái)表示，其變數(shù) 是 的導(dǎo)數(shù)， 。而 的值是如右圖藍(lán)線(xiàn)在 y 軸的負(fù)截距

換句話(huà)說(shuō)，從 x 值到 y 值的函數(shù)，轉(zhuǎn)換成 f(x) 在 x 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)到在 x 點(diǎn)切線(xiàn) y 截距的函數(shù)

這程序是由阿德里安-馬里·勒壤得所發(fā)明的，因此稱(chēng)為勒讓德變換。稱(chēng)函數(shù) 為 的勒讓德變換；

用方程表示

。

此式子表示 中的 u 對(duì) 而言是個(gè)參數(shù)，且參數(shù) u 會(huì)滿(mǎn)足 的 。即求算表達(dá)式關(guān)于變數(shù) 的極值。

為方便討論，把討論限定在 為嚴(yán)格單調(diào)遞增。會(huì)有這方程是因?yàn)樵?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/Ufgtm8BbCryRblO3OTCt5Q007YE2rZy1C6W6.jpg" alt="" /> 也就是斜率不變的狀況下，對(duì)每個(gè) 而言，所有與曲線(xiàn) 相交且斜率為 的直線(xiàn)族為 。若令 ，該直線(xiàn)即是 在 的切線(xiàn)方程。把x當(dāng)作常數(shù)并由右圖直接觀察可知，在 的情況下， 值是最小的，也就是說(shuō)直線(xiàn)方程中 這部分是最大的，而正好 ，正是原方程所求的極值。

勒讓德變換是點(diǎn)與線(xiàn)之間對(duì)偶性關(guān)系（duality）的一個(gè)應(yīng)用。函數(shù) 設(shè)定的函數(shù)關(guān)系可以用 點(diǎn)集合來(lái)表示；也可以用切線(xiàn)(在嚴(yán)格單調(diào)遞增的討論下，切線(xiàn)跟導(dǎo)數(shù)p有一對(duì)一的關(guān)系)集合表示。

若將勒讓德變換廣義化，則會(huì)變?yōu)槔杖赖?芬伽轉(zhuǎn)換（Legendre-Fenchel transformation）。勒讓德變換時(shí)常用于熱力學(xué)與哈密頓力學(xué)。1

定義最大值式定義更詳細(xì)地定義勒讓德變換，為了求得 關(guān)于 的最大值，設(shè)定 關(guān)于{\displaystyle x\,\!}的偏導(dǎo)數(shù)為零：

。

則

。(1)

這表達(dá)式必為最大值。因?yàn)?，凸函?shù) 的二階導(dǎo)數(shù)是負(fù)數(shù)：

；

用方程 (1) 來(lái)計(jì)算函數(shù) 的反函數(shù) 。代入 方程，即可以得到想要的形式：

。

計(jì)算 的勒讓德變換，所需的步驟為：

找出導(dǎo)函數(shù) ，

計(jì)算導(dǎo)函數(shù) 的反函數(shù) ，

代入 方程來(lái)求得新函數(shù) 。

這定義切確地闡明：勒讓德變換制造出一個(gè)新函數(shù) ；其新自變數(shù)為 。

反函數(shù)式定義另外一種勒讓德變換的定義是：假若兩個(gè)函數(shù) 與 的一階導(dǎo)數(shù)是互相的反函數(shù)；

，

或者，

，

則 與 互相為彼此的勒讓德變換。

依照定義，

，

。

思考下述運(yùn)算：

。

所以，

；

這里， 。

這答案是標(biāo)準(zhǔn)答案；但并不是一個(gè)答案。設(shè)定

，

也可以滿(mǎn)足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢(shì)（thermodynamic potential），會(huì)采用非標(biāo)準(zhǔn)的答案。除非另外注明，此頁(yè)面一律采用標(biāo)準(zhǔn)答案。2

應(yīng)用熱力學(xué) 在熱力學(xué)里，使用勒讓德變換主要的目的是，將一個(gè)函數(shù)與所含有的一個(gè)自變數(shù)，轉(zhuǎn)換為一個(gè)新函數(shù)與所含有的一個(gè)新自變數(shù)，（此新自變數(shù)是舊函數(shù)對(duì)于舊自變數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)）；將舊函數(shù)減去新自變數(shù)與舊自變數(shù)的乘積，得到的差就是新函數(shù)。勒讓德變換可以用來(lái)在各種熱力勢(shì)（thermodynamic potential）之間作轉(zhuǎn)換。例如，內(nèi)能是外延量（extensive）熵，體積，與化學(xué)成分（chemical composition） 的顯函數(shù)

。

對(duì)于 ，函數(shù) （非標(biāo)準(zhǔn)的）勒讓德變換為焓函數(shù) ：

，

。

一個(gè)熵與內(nèi)含量（intensive）壓力的函數(shù)。當(dāng)壓力是常數(shù)時(shí)，這函數(shù)很有用。

對(duì)于 ，函數(shù) 勒讓德變換為吉布斯能函數(shù) :

，

。

對(duì)于 ，函數(shù) 勒讓德變換為亥姆霍茲自由能函數(shù) :

，

。

這些自由能函數(shù)時(shí)常用在常溫的物理系統(tǒng)。

經(jīng)典力學(xué) 在經(jīng)典力學(xué)里，勒讓德變換專(zhuān)門(mén)用來(lái)從拉格朗日表述導(dǎo)引出哈密頓表述，或反導(dǎo)之。拉格朗日量是廣義坐標(biāo)與廣義速度的函數(shù)；而哈密頓量將函數(shù)的自變量轉(zhuǎn)換為廣義坐標(biāo) 與廣義動(dòng)量：

，

。

正則變換正則變換廣泛地應(yīng)用勒讓德變換在其理論里。正則變換是一種正則坐標(biāo)的改變， ，而同時(shí)維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會(huì)改變。正則變換的方程為

，

，

；

這里， 是舊正則坐標(biāo)， 是新正則坐標(biāo)， 是舊哈密頓量， 是新哈密頓量， 是生成函數(shù)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

何星 - 副教授 - 上海交通大學(xué)