[科普中國]-l∞空間

在數(shù)學(xué)中，Lp空間是由p次可積函數(shù)組成的空間；對應(yīng)的?p空間是由p次可和序列組成的空間。它們有時叫做勒貝格空間，以昂利·勒貝格命名（Dunford & Schwartz 1958，III.3），盡管依據(jù)Bourbaki (1987)它們是Riesz (1910)首先介入。在泛函分析和拓撲向量空間中，他們構(gòu)成了巴拿赫空間一類重要的例子。l∞空間是一種所有有界數(shù)列構(gòu)成的空間。

簡介在數(shù)學(xué)中，Lp空間是由p次可積函數(shù)組成的空間；對應(yīng)的?p空間是由p次可和序列組成的空間。它們有時叫做勒貝格空間，以昂利·勒貝格命名（Dunford & Schwartz 1958，III.3），盡管依據(jù)Bourbaki (1987)它們是Riesz (1910)首先介入。在泛函分析和拓撲向量空間中，他們構(gòu)成了巴拿赫空間一類重要的例子。l∞空間是一種所有有界數(shù)列構(gòu)成的空間。1

可數(shù)維度空間的p-范數(shù)有限維空間中的p-范數(shù)可以如{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}一般定義。當(dāng)空間維數(shù)是可數(shù)無限時，也可以將p-范數(shù)的定義拓展到其上。這個定義一般適用于由數(shù)列或序列構(gòu)成的空間，稱為{\displaystyle \ell ^{2}}空間。常見的有如下例子：

空間，所有絕對收斂級數(shù)列構(gòu)成的空間；

空間，所有平方收斂級數(shù)列構(gòu)成的空間；

空間，所有有界數(shù)列構(gòu)成的空間。

事實上，序列集合上可以自然地按照序列的加法和數(shù)乘定義出向量空間。而{\displaystyle \ell ^{p}}空間則是在這個向量空間中定義如下的p-范數(shù)：

然而，上式中右側(cè)的級數(shù)不總是收斂的（有可能其級數(shù)和是無窮大）。所以l空間實際上是所有序列集合中，令上式右側(cè)的級數(shù)能夠收斂的元素組成的子集。

可以證明，隨著p增大， 空間包含的元素也越多。實際上，如果p