[科普中國]-施泰納系

施泰納系(Steiner system)是一類組合構(gòu)形，即λ=1的t設(shè)計，記為S(t，k，v)。一個S(2，3，v)稱為施泰納三元系，記為STS(v)，一個S(3，4，v)稱為施泰納四元系，記為SQS(v)，STS(v)存在的充分必要條件是v≡1，3(mod 6)，哈拿匿(H.Hanani)于1960年證明：SQS(v)存在的充分必要條件是v≡2，4(mod 6)，當(dāng)t=4或5時，目前僅知一些零星的施泰納系，其中一些與馬修群有關(guān)(參見“馬修設(shè)計”)，當(dāng)t≥6時，目前尚不清楚是否有這樣的施泰納系存在。1

基本介紹設(shè)(X，B)為一正則設(shè)計，其中|X|=v，區(qū)組大小為k，若X的任一t元子集恰含于B的λ個區(qū)組之中，則稱(X，B)為t-(v，k，λ)設(shè)計，簡稱t設(shè)計。

(i)λ=1，t-(v，k，1)設(shè)計常叫做Steiner系，并記作S(t，k，v)。

(ii)Sλ(2，3，v)叫三元系，特別，S(2,3,v)叫Steiner三元系，記作STS(v)。

(iii)Sλ(3，4，v)叫四元系(quadruple system)，特別，S(3，4，v)叫做Steiner四元系，記作SQS(v)。1

例1 令

B：{0，1，2，4}，{1，2，3，5}，{2，3，4，6}，{3，4，5，0}，

{4，5，6，1}，{5，6，0，2}，{6，0，1，3}，

{0，1，5，∞}，{1，2，6，∞}，{2，3，0，∞}，{3，4，1，∞}，

{4，5，2，∞}，{5，6，3，∞}，{6，0，4，∞}.

這是一個8階Steiner四元系SQS(8)，如果取包含∞的7個區(qū)組并將∞去掉。則得到Z7上的一個STS(7)。

稍作仔細(xì)觀察，不難看出，(V，B)也是一個1-(8，4，7)設(shè)計，且這種情況并非偶然。1

相關(guān)概念施泰納三元系施泰納三元系（斯坦納三元系）是滿足中的（平衡不完全區(qū)組設(shè)計），斯坦納三元系（施泰納三元系）記為。柯克曼15名女學(xué)生問題是斯坦納三元系中一個的問題。瑞士數(shù)學(xué)家斯坦納( Steiner)在1853年研究四次曲線的二重切線時遇到的區(qū)組設(shè)計，其在數(shù)字通訊理論、快速變換、有限幾何等領(lǐng)域有非常重要的作用。2

我國學(xué)者陸家羲（1935-1983）經(jīng)過多年研究，編寫了《不相交的斯坦納三元系大集》等七篇論文，解決了國際上斯坦納三元系理論多年未解決的難題。

定理1滿足的的必要條件為

和

由定理1知，滿足的BIBD的有

和

當(dāng)時，有

和

得和，有

由于b是整數(shù)，那么，可取，但時，，不是整數(shù)。所以，或或。2

馬修設(shè)計馬修設(shè)計是與馬修群有關(guān)的幾個施泰納系，若G是v元集X上的一個t可遷置換群，Δ是X的一個k元子集，G將X的全體k元子集劃分成一些區(qū)組軌道，則含Δ的區(qū)組軌道形成一個t-(v，k，λ)設(shè)計，若以GΔ記Δ的集穩(wěn)定子群，則軌道大小為|G|/|GΔ|，由此可計算參數(shù)λ，已知兩個5可遷的馬修群M12及M24，兩個4可遷的馬修群M11及M23，與之有關(guān)的還有一個3可遷的馬修群M22，適當(dāng)選取區(qū)組軌道，可以從這些t可遷群得到一些施泰納系S(5，8，24)，S(5，6，12)，S(4，7，23)，S(4，5，11)，以及S(3，6，22)，稱這幾個設(shè)計為馬修設(shè)計，這些設(shè)計在同構(gòu)意義下還是惟一的。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)