[科普中國(guó)]-模格

模格(modular lattice)亦稱戴德金格，是格論中僅次于分配格的一類重要格，設(shè)L是格，對(duì)任意a，b，c∈L，若L滿足下列條件之一：L5：若a≤c，則a∨(b∧c)=(a∨b)∧c；L5′：(a∧b)∨(a∧c)=a∧(b∨(a∧c))；則稱L為模格，L5稱為模恒等式。分配格是模格。群的正規(guī)子群格、環(huán)的理想格都是模格。格L是模格當(dāng)且僅當(dāng)L不含五邊形格?？评锉葋?M.Kolibiar)于1956年用兩個(gè)恒等式(x∨(y∧y))∧y=y和((x∧y)∧z)∨(x∧t)=((t∧x)∨(z∧y))∧x刻畫了模格，模格中一個(gè)非常重要的定理是戴德金的轉(zhuǎn)置原理：若L是模格，a，b∈L，則φb：x→x∧b是[a，a∨b]到[a∧b，b]的同構(gòu)，其逆同構(gòu)為ψa：y→y∨a.從而在模格L中，若x，y∈[a∧b，b]?L，則a ∨(x∧y)=(a∨x)∧(a∨y)。1

總體介紹模格是一種組合構(gòu)形，是滿足如下條件的格：對(duì)于格的任意元素x，y和z，若x≤z，則x∨(y∧z)=(x∨y)∧z。

因此，模格是把滿足分配律的要求僅局限在可比較元素之間，從而模格可視為分配格的推廣，一個(gè)格是分配格，則必為模格。

圖1里，M5，N5均不是分配格，但M5是模格，而N5不是模格1。

在模格L上，映射φa把x映照為x∧a；映射ψb則把y映照為y∨b，這里a和b均為L(zhǎng)的固定的元素，于是φa和ψb為區(qū)間[b，a∨b]和[a∧b，a]之間互逆的同構(gòu)映射，因而這兩個(gè)區(qū)間是同構(gòu)的。模格的這一基本性質(zhì)，亦可作為模格的另一等價(jià)定義。

在模格上，把形如I1=[a∧b，a]，I2=[b，a∨b]的區(qū)間稱為傳遞區(qū)間，若在兩區(qū)間[x，y]和[x′，y′]之間存在一組區(qū)間I1，I2，…，Ik，使得相鄰兩個(gè)區(qū)間都是傳遞區(qū)間，而且I1=[x，y]，Ik=[x′，y′]，則稱[x，y]和[x′，y′]中一個(gè)為另一個(gè)的投影區(qū)間。模格的投影區(qū)間均是同構(gòu)的，這種結(jié)構(gòu)上的均勻性是模格的主要特性。

模格也可由模元素來定義：格L為模格，當(dāng)且僅當(dāng)L的所有元素均為模元素，若L的元素a滿足：對(duì)于L的任意元素x，y，由x≤y得到x∧(a∨y)=(x∧a)∨y，則稱a為模元素，此外，格L上的一對(duì)元素a和b，若對(duì)于L的所有元素z它們滿足：若b≥z，則有b∧(a∨z)=(b∧a)∨z，此時(shí)稱a，b為模元素對(duì)，由定義知，在模元素對(duì)a和b之間是有序關(guān)系的，這就是說，當(dāng)a和b為模元素對(duì)時(shí)，b和a不一定為模元素對(duì)，因此，一般把模元素對(duì)a和b記為二元序?qū)?a，b)M，或aMb。模格亦可由模元素對(duì)刻畫：格L為模格，當(dāng)且僅當(dāng)L的每對(duì)元素均為模元素對(duì)，關(guān)于模元素對(duì)的序關(guān)系為對(duì)稱的格，即若a和b為模元素對(duì)，則b和a也為模元素對(duì)，相應(yīng)的格稱為模對(duì)稱格1。

例題解析例1 設(shè)S是一個(gè)集合，則S的冪集格(P(S)，?)是一個(gè)模格。因?yàn)閷?duì)于任意的A，B，C∈P(S)，當(dāng)B?A時(shí)，利用集合論中交對(duì)于并的分配律有2：

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)=B∪(A∩C)。

例2 圖2給出了五個(gè)格，不難驗(yàn)證和L4都是模格。但L5不是模格，這是因?yàn)橛蒫?d，可得d∧(c∨b)=d，c∨(d∧b)=c，但d≠c。我們稱L3為鉆石格，L5為五角格。

例2中的五角格是很重要的，可利用它來判斷一個(gè)格是不是模格。

定理 一個(gè)格S是模格，當(dāng)且僅當(dāng)S中不含有與五角格同構(gòu)的子格。

該定理的證明比較復(fù)雜，在這里略去，只要會(huì)利用即可。

例3 如圖3所示的格S中，因?yàn)閧a，b，g，e，c}是格S的子格，而這個(gè)子格是與例2中的五角格同構(gòu)的，所以格S不是模格2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)