[科普中國]-大集定理

“大集問題”就是大集的存在問題，所謂“大集定理”就是要證明它存在的充要條件。陸家羲用遞歸法證明了以下的大集定理：如果v≡1,3(mod6)，v>7和v?{141，283，501，789，1501，2365}，則D(v)=v-2，已有人編成了大集定理的算法程序，在計算機上予以驗證，大集定理的結(jié)論是完全正確的1。

基本介紹早在1853年，瑞十數(shù)學家斯坦納(Steiner)在研究四次曲線的二重切線時遇到了一種(vu，3，1)區(qū)組設計，這就是所謂斯坦納三元系。區(qū)組設計研究對數(shù)字通訊理論、快速變換、有限幾何等領(lǐng)域顯示出重要的作用。而斯坦納三元系在區(qū)組設計理論中具有基本的重要意義，個數(shù)達到v-2，且滿足某一充要條件的諸斯坦納三元系組成的集叫大集，所謂“大集問題”就是大集的存在問題；所謂“大集定理”就是要證明它存在的充要條件1。

1979年至1981年，我國組合數(shù)學工作者陸家羲創(chuàng)造性地利用前人的成果，巧妙地設計了一系列遞歸構(gòu)造，用六篇論文、五十多個定理和引理證明了大集定理2。

陸家羲用遞歸法證明了以下的大集定理：

如果v≡1,3(mod6)，v>7和v?{141，283，501，789，1501，2365}，則D(v)=v-2。

陸家曦與大集問題自大集問題問世130多年來，許多數(shù)學家被大集問題所吸引，并為之絞盡腦汁，付出巨大的勞動，但是所得結(jié)果還是零零碎碎的。1981年5月號的《組合論雜志》上載文稱：“這個問題離完全解決還很遙遠?！?

十一屆三中全會之后，改革開放的春風吹到塞外鋼城，陸家曦開始了一生中最緊張的階段。他白天教課，晚上搞科研，翻開他1979年12月的日記，31天中競有21天記著：“夜工作”、“夜補課”、“夜寫論文”、“夜思考Bays猜想”和“夜打英文稿”等。每逢春節(jié)，他總是讓妻子帶著孩子去岳母家過年，而自己卻在大街小巷徹夜的鞭炮聲中遨游在數(shù)學王國里。

妻子雖然支持丈夫的科研，但也擔心他的健康，便勸他每天晚飯后去散步，熬夜最晚不要超過12點，但是他研究的是數(shù)學難題，一旦思路展開便不好隨便收場，因此常常不得不違反妻子的規(guī)定，只顧拼命地工作，從1979年2 月24日到7月20日，陸家曦先后向《數(shù)學學報》投寄了三篇論文，其中一篇“可分解平衡不完全區(qū)組設計的存在性理論”發(fā)表在1984年第4期《數(shù)學學報》上，這是他在國內(nèi)雜志上發(fā)表的第一篇論文，也是最后一篇論文，發(fā)表時他已去世9個多月。

1979年10月，陸家曦的科研又取得了重大突破，他在寄給國際權(quán)威雜志《組合論雜志》的信中，預告了自己已經(jīng)基本解決了“不相交斯坦納三元系大集”，該雜志的回信稱：“如果屬實，將是一個重要的結(jié)果?！庇终f：“這個問題世界上許多專家都在研究，但離完全解決還十分遙遠?！彼麄儧]有料到，這個問題卻被一個中國的中學物理教師基本上解決了。

1981年9月18日起，《組合論雜志》陸續(xù)收到陸家曦題為“論不相交斯坦納三元系大集”的系列文章，西方的組合論專家們驚訝了，加拿大著名數(shù)學家、多倫多大學教授門德爾遜說：“這是二十多年來組合設計中的重大成就之一?！奔幽么蠖鄠惗啻髮W校長斯特蘭格威(D.W.Strangway)致包頭九中校長的信中說：“親愛的先生：門德爾遜教授說：包頭九中的陸家曦是聞名西方的從事組合理論的數(shù)學家，并且說，有必要應同意把他調(diào)到大學崗位，他要我告訴你們：這樣的調(diào)動對發(fā)展中國的數(shù)學具有重要的作用，而且希望所表達的意愿能獲許可，你的真誠的D.W.Strangway.1983年9月30日，”我國的組合數(shù)學專家們組成的“陸家曦學術(shù)工作評審委員會”在1984年9月15日所作的評價是：

“……陸家曦同志獨創(chuàng)地引進了AD，AD*，AD**，LD和LD*等輔助設計及有關(guān)大集LAD1，LAD2和LAD3，創(chuàng)造性地利用了前人的結(jié)果，巧妙地設計了一系列的遞歸構(gòu)造，嚴謹?shù)刈C明了互不相交的v階斯坦納三元系的大集，除了六個值外，對所有v≡1或3(mod 6)，v>7都存在，從而宣告了這一問題的整體解決（關(guān)于例外值，他已有腹稿，但在寫作過程中便不幸逝世了，僅留下一份提綱和部分結(jié)果）。眾所周知，1960年，博斯(Bose)等證明了當t>1時，關(guān)于4t+2階正交拉丁方的歐拉猜想不成立；1961年Hanai給出并證明了k=3和4的（b，v，r，k，λ）設計存在的充要條件，這是區(qū)組設計理論中的兩大舉世聞名的成就，陸家曦關(guān)于大集的成果可以與上述兩大成就相媲美，并將同它們一起載入組合數(shù)學的史冊?！?/p>

縱觀古今數(shù)學定理的證明，視對象之不同，既有蔚為大觀的鴻篇巨制，也不乏短小精悍的精煉之作，而以高屋建瓴的氣概，依據(jù)獨創(chuàng)的55個定理和引理，用100個印刷頁、10萬字的篇幅來證明一個定理，實屬罕見，堪稱一項大型工程。陸家曦的證明是創(chuàng)造性的，這正符合我國古算傳統(tǒng)的祖訓遺風，這是東方數(shù)學的特點和光榮1。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學