[科普中國]-約翰生結(jié)合方案

約翰生結(jié)合方案(Johnson association scheme)亦稱三角形結(jié)合方案，是一類度量方案，約翰生結(jié)合方案在編碼理論中也有重要應用，例如，每一個等重量碼都可看做某個約翰生結(jié)合方案中的子集1。

基本介紹設，以記某個v元集的k元子集的全體，若當兩個k元子集的交為k-i元子集時，規(guī)定它們有第i種結(jié)合關系，則J(v，k)是有個處理及k個結(jié)合類的結(jié)合方案，稱為約翰生結(jié)合方案。當k=2時，約翰生結(jié)合方案即為三角形設計中的結(jié)合方案，約翰生結(jié)合方案在編碼理論中也有重要應用，例如，每一個等重量碼都可看做某個約翰生結(jié)合方案中的子集。

度量方案是一類結(jié)合方案，它由距離正則圖定義，若Γ為直徑d的距離正則圖，規(guī)定兩個頂點的距離為i時它們有第i種結(jié)合關系，則在Γ的頂點集合上有一個d個結(jié)合類的結(jié)合方案，稱為度量方案。許多最重要的結(jié)合方案都是度量方案。例如，具兩個結(jié)合類的結(jié)合方案一定是度量方案，漢明結(jié)合方案與約翰生結(jié)合方案也都是度量方案。但是，并非所有的結(jié)合方案都是度量方案。1

對三角結(jié)合方案的研究1957年起，張里千開始研究試驗設計。1959年，張里千對三角結(jié)合方案進行了研究，并在較短的時間內(nèi)解決了這一問題。結(jié)合方案是試驗設計中部分平衡不完全區(qū)組設計(PBIBD)的一種內(nèi)在數(shù)學結(jié)構。在三角形結(jié)合方案的研究中，張里千用組合數(shù)學的方法推導出具有三角參數(shù)，和的結(jié)合方案唯一地成為三角形方案的一個比較深刻的充要條件，并運用它證明了具有三角參數(shù)的結(jié)合方案當n≠8時必定是唯一的三角形方案；而當n=8時，除三角形方案外，還構造出全部其他3個方案；從而徹底解決了三角形方案的唯一性問題。在張里千的工作之前，對于n≥9和n=5，6情形已分別被W.S.康納(Connor，1958年)和S.S.施里克漢德(Shrikhande，1959年)所解決。n=8的情形后來被國外一些圖論著作稱之為“著名的張圖”(well-known Chang graphs)2。

相關介紹三角形設計是一類PBIBD設計，它有兩個結(jié)合類，設，，將S中的v個元以某種次序放在一個n階方陣的右上角，左下角則放相應元素使該方陣為對稱方陣，對角線位置則空著，當S中的兩個元xi與xj出現(xiàn)在方陣中的同一行或同一列時，稱它們有第一種結(jié)合關系；否則，稱它們有第二種結(jié)合關系。這樣便得到S上有兩個結(jié)合類的結(jié)合方案，稱為三角形結(jié)合方案。集S中相應的PBIBD設計稱為三角形設計。三角形結(jié)合方案的參數(shù)由n確定：當n≠8時，三角形結(jié)合方案是在同構意義下由參數(shù)惟一確定的；當n=8時，則不惟一。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學